백분율 계산

백분율(퍼센트)은 보통 전체에 대한 부분의 크기를 나타내며, 전체 자체는 100%로 나타낸다. 퍼센트는 언제나 분수로 바꾸어 쓸 수 있다.

전체에 대한 부분으로서의 퍼센트

퍼센트는 어떤 전체의 일부를 나타내고 싶을 때 쓴다. “반 학생의 4분의 1이 5등급을 받았다”나 “두 명 중 한 명은 남자이다” 같은 표현을 퍼센트로 바꿀 수 있다. 언제나 전체가 있다. 예를 들어 반 학생 전체가 있고, 그중 4분의 1이 5등급을 받았다고 말한다. 반에 학생이 32명 있고 그중 4분의 1이 5등급을 받았다면, 5등급을 받은 학생 수는 다음과 같다.

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{즉}\frac{32}{4}=8$$

두 번째 예로 인구가 약 60,000명인 도시를 생각해 보자. 두 명 중 한 명이 남자라면 주민의 절반이 남자라는 뜻이고, 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{즉}\frac{\mathrm{60,000}}{2}=\mathrm{30,000}$$

또 “이 도시 사람 100명 중 한 명은 수학자이다”라고 할 수도 있다. 그러면 이 도시에는 수학자가 $\frac{1}{100}\cdot \mathrm{60,000}=600$명 있다. “100명 중 한 명”은 “주민의 100분의 1”과 같다.

이제 퍼센트라는 개념을 도입할 수 있다. 1퍼센트는 1%로 쓰며 전체의 100분의 1을 뜻한다. 즉 “이 도시 사람 100명 중 한 명은 수학자이다”와 “이 도시 사람의 1%는 수학자이다”는 같은 말이다. 전체의 1%는 전체에 $\frac{1}{100}$을 곱하거나 100으로 나누어 구한다. 둘은 같은 계산이다.

퍼센트는 분수로 쉽게 바꿀 수 있고, 분수로 계속 계산할 수 있다. “이 도시 사람의 x%는 머리카락이 검다”는 “이 도시에서 $\frac{x}{100}\cdot \mathrm{60,000}$명은 머리카락이 검다”와 같다. 100%는 전체, 즉 모든 주민을 나타낸다. “학생의 100%가 진급했다”는 모든 학생이 진급했다는 뜻이다. “학생의 0%가 낙제했다”는 아무도 낙제하지 않았다는 뜻이다. 예를 보자.

1. 이 도시 주민의 35%가 버스를 탄다. 버스를 타는 사람은 몇 명일까? 35 %는 전체의 $\frac{35}{100}$(= “전체의 100분의 35”)와 같다. 따라서 $\frac{35}{100}\cdot \mathrm{60,000}$을 계산한다. 먼저 60,000을 100으로 나누고 그 결과에 35를 곱하면 쉽게 계산할 수 있다. 사실상 다음과 같이 변형하는 것이다.

   $$\frac{35}{100}\cdot \mathrm{60,000}=\frac{35\cdot \mathrm{60,000}}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=\mathrm{21,000}$$

   먼저 1퍼센트에 해당하는 주민 수를 구한다고 생각해도 된다. $\frac{1}{100}\cdot \mathrm{60,000}=600$이다. 1퍼센트에 해당하는 주민은 600명이다. 구하려는 것은 주민의 35%이므로 이 600명에 35를 곱하면 된다. 35 · 600 = 21,000이다.

2. 민준이는 게임에서 하루에 평균 500점을 얻는다. 오늘은 평소 점수의 75%만 얻었다. 오늘 얻은 점수는 몇 점일까? 방법은 같다. 전체는 500이고 75%를 분수 $\frac{75}{100}$로 바꾼다. 이 분수는 $\frac{3}{4}$으로 약분할 수 있다. 전체에 이 분수를 곱한다.

   $$\frac{3}{4}\cdot 500=\frac{3\cdot 500}{4}=3\cdot 125=375$$

3. 다음 날 민준이는 실력을 되찾아 평소 점수의 150%를 얻었다. 몇 점을 얻었을까? 100%가 전체라고 했는데 100%보다 클 수 있을까? 그렇다. 누군가 “평소의 세 배”를 얻을 수 있듯이 평소의 150%도 얻을 수 있다.

   방법은 똑같다. 150%를 분수 $\frac{150}{100}$으로 바꾸고, 이 분수를 민준이의 평균 점수 500에 곱한다.

   $$\frac{150}{100}\cdot 500=\frac{150\cdot 500}{100}=\frac{150\cdot 5}{1}=150\cdot 5=750$$

비례식으로 보는 퍼센트

퍼센트로 나타낸 전체의 일부는 쉽게 비례식으로 바꿀 수 있다. 하루 평균 500점을 얻는데 오늘은 평소의 75%를 얻은 민준이의 예를 계속 보자. 비례식으로 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 500\text{점}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{점}\end{array}$$

정비례이므로 다음 식을 얻는다.

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{500}$$

방정식의 양변에 500을 곱하면 다음과 같다.

$$\frac{75\cdot 500}{100}=x$$

여기서 결과를 쉽게 계산할 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 500}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 5}{1}& =& x\\ x& =& 75\cdot 5\\ x& =& 375\end{array}$$

같은 수가 나왔다.

부분은 알고 전체를 모른다면?

앞의 예에서는 언제나 전체의 값을 정확히 알고, 퍼센트로 주어진 일부를 구했다. 그런데 반대로 일부를 알고 전체를 모른다면 어떻게 할까? 예를 들어 보자. 민준이는 커다란 초록 괴물이 그려진 마법 카드를 120장 가지고 있다. 초록 괴물 카드로는 꽤 많은 수이지만, 그래도 서연이가 가진 카드의 60%밖에 되지 않는다. 서연이는 카드를 몇 장 가지고 있을까?

여기서는 일부를 알고 전체를 모르므로 전체를 구해야 한다. 120장이 서연이가 가진 카드의 60%에 해당한다는 것을 알고 있다. 1퍼센트에 해당하는 카드 수를 알려면 120을 60으로 나누면 된다. 120/60 = 2이다. 1퍼센트는 초록 괴물 카드 2장이다. 구하려는 것은 전체이고 전체는 언제나 100%이므로 이 카드 수에 100을 곱한다. 200장이 나오고, 이것이 답이다.

200의 60%를 계산해서 확인할 수 있다. 다음과 같이 곱하면 된다.

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

200의 60%는 120으로, 민준이가 가진 초록 괴물 카드의 수와 꼭 같다.

퍼센트의 덧셈

퍼센트가 나오는 문제를 풀 때는 퍼센트 대신 정확한 값을 먼저 구해서 더하는 것이 언제나 가장 좋다. 예를 들어 다음과 같은 문제가 있다고 하자. 민수는 한 달에 150만 원, 지훈이는 200만 원, 수아는 250만 원을 번다. 민수가 버는 돈의 30%, 지훈이가 버는 돈의 40%, 수아가 버는 돈의 25%를 합한 만큼을 버는 하은이는 얼마를 벌까?

여기에는 퍼센트가 나오는 표현이 세 개 있는데, 각각 기준이 되는 전체가 다르다. 민수, 지훈, 수아가 버는 돈이 모두 다르기 때문이다. 먼저 민수 월급의 30%를 구한다. 1퍼센트는 1,500,000/100 = 15,000이다. 여기에 30을 곱하면 15,000 · 30으로 450,000을 얻는다. 다음은 지훈이 월급의 40%이다. 1퍼센트는 2,000,000/100 = 20,000이다. 여기에 40을 곱하면 20,000 · 40 = 800,000이다. 마지막은 수아 월급의 25%이다. 수아는 250만 원을 벌므로 1퍼센트는 2,500,000/100 = 25,000이다. 25를 곱하면 25,000 · 25 = 625,000이다. 이제 각각의 결과를 더하기만 하면 된다. 450,000 + 800,000 + 625,000 = 1,875,000이다. 하은이는 187만 5,000원을 번다.

그런데 정말로 퍼센트끼리 더해야 하는 경우도 있다. 퍼센트는 기준이 같을 때, 즉 같은 전체에 대한 퍼센트일 때만 더할 수 있다. 예를 들어 준호가 지훈이 월급의 20%와 지훈이 월급의 30%를 합한 만큼을 번다면 두 퍼센트를 더할 수 있다. 두 표현 모두 지훈이의 월급이라는 같은 기준으로 계산하기 때문이다. 결과는 20%와 30%를 더한 50%이다. 준호는 지훈이가 버는 돈의 절반, 즉 100만 원을 번다.

연달아 퍼센트를 더할 때의 함정

이번에는 다음 상황을 생각해 보자. 민호의 첫해 연봉은 3,000만 원이었다. 둘째 해에는 연봉이 30% 인상되었다. 그다음 셋째 해에도 연봉이 올랐는데, 이번에는 10%만 인상되었다. 지금 민호의 연봉은 얼마일까?

이런 문제에서는 앞의 경우처럼 퍼센트를 그냥 더하고 싶어진다. 언뜻 보기에는 여전히 같은 기준, 즉 민호의 연봉으로 계산하는 것 같기 때문이다. 그래서 30%와 10%를 더한 40%를 처음 연봉에 더한다. 그러면 민호의 연봉은 4,200만 원이 된다. 하지만 그렇지 않다. 차근차근 살펴보자.

첫해에는 3,000만 원을 받았다. 둘째 해에는 3,000만 원에 30%를 더해 받았다. 계산해 보면 알겠지만 3,900만 원이다. 그리고 그다음 해에 연봉이 10% 올랐다. 그런데 주의하자! 이제 기준은 첫해의 3,000만 원이 아니다. 기준은 이미 3,900만 원이다! 앞에서 보았듯이 퍼센트는 같은 기준으로 계산할 때만 더할 수 있다. 이 경우에는 기준이 다르다. 처음에는 3,000만 원이었고 이번에는 3,900만 원이다. 따라서 마지막 해에 민호는 3,900만 원에 10%를 더한 4,290만 원을 받았다.

4,200만 원이라는 답은 틀렸을 뿐 아니라 불쌍한 민호에게서 90만 원을 빼앗은 셈이다. 민호에게 너무하지 말자!

수학 교과서를 할인가에 사자!

할인도 대표적인 예이다. 가게에 생일 선물로 정말 갖고 싶은 수학 교과서가 있다고 하자. 그 밖에 무엇을 더 갖고 싶겠는가? :-)

그런데 크리스마스 전에 가게가 책값을 20 % 올렸다. 그래서 크리스마스가 지나고 사기로 했다. 잘한 선택이었다. 연휴가 끝나고 가게가 책값을 20 % 내렸기 때문이다. 그렇다면 책값은 올리기 전과 같을까? 아니면 더 비쌀까, 더 쌀까?

같을 것이라고 생각하는 사람도 있지만 그렇지 않다. 계산해 보자. 책값이 15,000원이었다고 하자. 20% 인상은 책값이 $\frac{20}{100}\cdot \mathrm{15,000}=\mathrm{3,000}$원 올랐다는 뜻이다. 그래서 책값은 18,000원이 되었다.

그런데 20% 할인은 이제 15,000원이 아니라 18,000원을 기준으로 계산한다! 즉 책값은 $\frac{20}{100}\cdot \mathrm{18,000}=\mathrm{3,600}$원 내린다. 할인한 뒤 책값은 14,400원이다.

(솔직히 “쉽게 풀어 쓴 수학”이 있는데 누가 수학 교과서를 사겠는가 ;-))

퍼밀

퍼밀은 흔히 운전자의 혈중 알코올 농도를 나타낼 때 쓴다(한국에서는 퍼센트로 나타낸다). 퍼밀을 퍼센트의 천분의 일이라고 잘못 아는 사람이 있는데, 이는 잘못된 생각이니 주의하자. 퍼밀은 전체의 천분의 일이다. 나머지 계산은 퍼센트와 똑같다. 5,000의 x퍼밀을 구하려면 $\frac{x}{1000}\cdot 5000$을 계산한다. 분모에 100 대신 1,000이 있을 뿐이다. 따라서 5,000의 3퍼밀은 $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$이다.

퍼밀은 기호 ‰로 나타낸다. 따라서 $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$가 성립한다.

자세한 내용은 퍼밀 글에 있다.

퍼센트의 표기

체코어에서는 “100%”(띄어 씀)와 “100%”(붙여 씀)를 구별해서 앞의 것은 “100퍼센트”, 뒤의 것은 “100퍼센트의”라는 뜻으로 쓴다. 한국어에서는 이런 구별 없이 언제나 숫자에 붙여 “100%”라고 쓴다.

퍼센트포인트

보통의 퍼센트 말고 퍼센트포인트(%p)라는 것도 있다. 둘은 어떻게 다를까? 2년 전에는 Firefox 브라우저를 쓰는 사람이 20 %였는데 올해는 30%라고 하자. 두 해 사이에 얼마나 늘었을까? 10퍼센트 늘었다고 하면 틀린다. 처음에는 20%가 썼고 지금은 30%가 쓴다면, 지금은 이전보다 절반만큼 더 많은 사람이 쓴다는 뜻이다. 즉 50퍼센트 늘었다.

하지만 퍼센트 값이 10만큼 올랐다고 하면 누구나 더 쉽게 알아들을 텐데, 50% 늘었다고 하면 조금 어색하다. 바로 이럴 때 퍼센트포인트를 쓴다. 이 경우 Firefox 사용률이 10퍼센트포인트(10%p) 늘었다고 말할 수 있다. 퍼센트포인트는 두 퍼센트 값의 단순한 차이를 나타낼 때 쓴다.