함수의 미분

미분은 미분학의 기본 개념이다. 예를 들어 함수 그래프의 개형을 그릴 때 중요한 역할을 한다. 학생들이 미워하는 개념이기도 하지만, 잘 훈련된 원숭이도 미분은 할 수 있다. 이 글에서는 미분의 정의와 관련 개념만 설명한다. 풀이가 있는 예제는 이웃한 글 간단한 미분 예제와 어려운 예제에 있다. 미분의 반대 과정은 적분이다.

미분이란

미분의 정의로 가기 전에, 미분으로 무엇을 구하고 그것이 어디에 쓸모 있는지 알아보자.

함수를 미분하면 접선의 기울기를 얻는다. 낯선 말이 잔뜩 나왔으니 처음부터 보자. 간단히 말해 접선은 그래프에 단 한 점에서 닿는 직선이다. 정확한 정의는 아니지만(정확한 정의는 예를 들어 위키백과에서 볼 수 있다) 대략 이것으로 충분하다. 이제 다음 그림을 보자.

검은 곡선은 함수 y = x²의 그래프이다. 파란 직선은 빨간색으로 표시한 점 D(1, 1)에서 이 함수에 그은 접선이다. 초록색으로 표시한 것은 접선이 x축, 더 정확히는 x축의 양의 방향과 이루는 각 α이다. 이제 접선의 기울기를 정의하자. 이 그림에서 접선의 기울기는 각 알파의 탄젠트이다. 탄젠트는 예를 들어 삼각형의 각과 변의 길이를 구할 때 쓰는 고전적인 삼각함수이다. 즉 접선의 기울기는 그 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 탄젠트이다. 그리고 이 기울기를 바로 미분으로 구한다.

또 점에서의 미분계수와 도함수를 구별한다. 점에서의 미분계수는 바로 그 점에서의 접선의 기울기이다. 도함수는 일반적인 값 x에 대한 기울기를 주는 또 다른 함수이다. 예는 뒤에서 보자.

미분이 필요한 이유

이렇게 미분으로 접선의 기울기를 구할 수 있다. 이것은 어디에 쓸모가 있을까? 다음 그림을 보자.

그림에는 이번에도 함수 y = x²과 접선 네 개가 있다. 둘은 초록색, 둘은 파란색이다. 함수 y = x²은 구간 (−∞,0)에서 감소하고 구간 (0,∞)에서 증가한다는 것에 주목하자. 그러면 그 접선, 정확히는 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각에는 어떤 성질이 있을까? 파란 접선, 즉 함수가 증가하는 구간에 속하는 점을 지나는 접선은 축과 90°보다 작은 각을 이룬다. 반면 초록 접선은 축과 90°보다 큰 각을 이룬다. 이것이 접선의 기울기에는 어떻게 나타날까?

그러려면 탄젠트 함수가 어떻게 행동하는지 알아야 한다. 다음 그래프에서 알 수 있듯이 각이 90°보다 작으면 탄젠트의 값은 양수이다(파란색으로 표시한 부분). 반대로 각이 90°보다 크지만 180°보다 작으면(즉 π라디안보다 작으면) 탄젠트의 값은 음수이다. 그러면 어떤 결론을 내릴 수 있을까? 어떤 점에서 접선의 기울기(기울기는 각의 탄젠트라는 것을 잊지 말자)가 양수이면 함수는 그 점에서 증가하고, 음수이면 감소한다.

정의

미분의 정의에 이르기까지는 갈 길이 멀다. 그리고 함수의 극한이 필요하다. 극한을 모른다면 극한으로 돌아가거나 그냥 공식으로 건너뛰자. 이어지는 이야기는 그다지 도움이 되지 않을 것이다.

접선 자체의 기울기로 가기 전에 먼저 더 쉬운 할선의 기울기를 살펴보자. 할선은 그래프와 두 점에서 만나는 직선이다. 이제 이 기울기를 어떻게 구할지 이끌어 내 보자. 그림을 보자.

그림에는 함수 x² + 1의 그래프와, 이 그래프와 두 점 (0.5, 1.25), (2, 5)에서 만나는 할선 s가 있다. 이 점들은 파란색으로 표시했다. 구체적인 값은 그다지 중요하지 않으므로 그래프에는 이 값들을 일반적으로 a, b와 f(a), f(b)로 표시했다. 여기서 f(a)는 x = a에서 함수 f의 값이다. 실제로 함수 x² + 1의 x = 2에서의 값은 2² + 1 = 5이다.

이제 알파로 표시한 각, 즉 할선이 x축과 이루는 각을 어떻게 구할지 이끌어 내야 한다. 먼저 그림을 조금 바꾸어 삼각형을 만들자. 그러면 다루기 더 쉽다.

무엇을 했을까? 할선이 함수 y = x² + 1의 그래프와 만나는 점을 선분으로 이어 직각삼각형 ABC를 만들었다. 이것이 왜 도움이 될까? β로 표시한 각은 각 α와 크기가 같다(동위각이다). 그런데 변 AB와 BC의 길이는 알고 있다. $\overline{AB}=b-a$이다(점 b와 a 사이의 거리일 뿐이다). 마찬가지로 길이 $\overline{BC}=f(b)-f(a)$이다. 이제 각 β, 즉 α의 크기는 어떻게 구할까?

탄젠트를 어떻게 구하는지 알아야 한다. 탄젠트는 밑변에 대한 높이의 비이다. 즉 각 알파(베타)의 탄젠트는 변 AB의 길이에 대한 변 BC의 길이의 비이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$\tan (\beta )=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

기울기는 각의 탄젠트이므로 이 공식으로 할선의 기울기를 구했다. 그러면 접선의 기울기를 구할 때는 이것이 어떻게 도움이 될까? 점 A와 C를 겹칠 때까지 서로 가까이 가져간다고 상상해 보자. 다음 그림이 가까이 가져가는 모습을 보여 준다.

위쪽 교점을 아래쪽 교점에 가까이 가져갈수록 할선은 접선에 더 가까워진다. 원래의 할선, 즉 직선 CA는 접선과는 거리가 멀었다. 점 C를 점 A에 가까이 가져가면 예를 들어 할선 C₁A를 얻는데, 이것은 이미 접선과 더 비슷하다. 할선 C₂A는 더 비슷하고, 이렇게 계속된다.

할선은 언제 접선이 될까? 두 교점이 하나로 겹칠 때, 즉 어떤 점 C_n에 대해 C_n = A가 성립할 때이다. 그 순간 할선이 접선이 되고, 그것이 원하던 것이다. 문제는 기울기를 어떻게 구하느냐이다. 두 점이 같으므로 그냥 빼서 구할 수는 없다.

$$\tan (\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

이것은 안 된다. 이렇게 계산할 수는 없다. 괜히 두 점을 가까이 가져가기만 한 것이 아니다. 극한이 필요하다. 이제 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기를 구하려고 하고, 가능한 모든 할선의 기울기는 쓸 수 있다(이미 구할 줄 안다). 그래서 할선의 기울기를 차례로 구하면서 할선을 가까이 가져가 접선을 만든다. 즉 b를 a에 가까이 가져간다. 두 점이 같아질 만큼 가까이 가져갈 수는 없지만, 두 점의 차가 0에 한없이 가까워지게 할 수는 있다. 극한이다. 즉 b를 a에 한없이 가까이 가져간다. 다시 말해 b가 a에 가까워질 때의 극한을 구한다. 이것이 전부이고, 공식은 다음과 같다.

$$\tan (\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

이 극한을 x = a에서 함수 f(x)의 미분계수라고 한다. 각 α는 각 β와 같다는 것을 다시 떠올리자. 보통은 변수 a와 b가 아니라, 점 x₀에서의 미분계수를 구하고 점 x를 가까이 가져간다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\tan (\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

지금까지는 함수의 연속과 마찬가지로 한 점에서의 미분계수만 정의했다. 함수 f(x)가 열린구간 I에서 미분가능하면, 이 미분계수의 값이 함수 f′(x)를 정의하고, 이를 도함수라고 한다.

도함수는 위 첨자에 프라임(′)을 붙여 대략 다음과 같이 쓴다.

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

dx를 쓴 다른 표기도 볼 수 있다.

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

조금 전에 쓴 공식에서 탄젠트를 미분 기호로 바꿀 수 있다.

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

한쪽 극한을 이용해 우미분계수와 좌미분계수도 정의할 수 있다. 그다지 중요하지 않으므로 여기서는 다루지 않는다.

조금 다른 정의

점에서의 미분계수의 다른 정의는 다음과 같다.

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

이 정의에는 어떻게 이를까? 출발점이 된 그림을 조금만 바꾸면 된다. 점 a와 점 b 사이의 거리를 h = b − a로 나타낼 수 있다. 그러면 h가 바로 b와 a 사이의 거리이므로 점 b를 a + h로 쓸 수 있다. 그림은 다음과 같다.

아래에는 점 a와 a + h가, y축에는 f(a)와 f(a + h)가 있다. 이번에도 삼각형을 만들어 각 베타의 탄젠트를 구한다. 다만 변 AB의 길이는 이미 구해져 있다. 바로 h이다.

유한한 미분계수와 무한대인 미분계수

미분계수에도 함수의 극한처럼 유한한 것과 무한대인 것이 있다. 무슨 뜻일까? 점에서의 미분계수가 어떤 실수와 같으면 유한한 미분계수이다. 양의 무한대나 음의 무한대와 같으면 무한대인 미분계수이다. 기하적으로는 어떻게 생각할까? 기울기가 “무한대”인 것은 언제일까? 더 쉬운 질문부터 보자. 기울기가 아주 큰 수인 접선은 어떤 모양일까? (위의) 탄젠트 그래프를 보면 탄젠트의 값이 클수록 각이 90°에 가까워진다는 것을 알 수 있다(구간 (0, 180)에서 생각할 때).

여기서 함수가 어떤 점에서 무한대인 미분계수를 가지면 접선이 x축과 직각을 이룬다, 즉 수직이라고 짐작할 수 있다. 정말 그렇다. 그러면 그런 함수의 그래프는 어떤 모양이고, 어느 점에서 접선이 x축에 수직일까? 예를 들어 함수 $y=\sqrt[3]{x}$가 그렇다.

기본 성질

• 함수가 어떤 점에서 미분계수를 가지려면 그 점의 어떤 엡실론 근방에서 정의되어 있어야 한다. 그런 근방이 없으면 미분계수를 정의하는 극한을 구할 수 없다.

• 극한은 존재하면 오직 하나뿐이므로, 어떤 점에서 미분계수가 존재하면 그것도 하나뿐이다. 어떤 함수도 한 점에서 미분계수를 여럿 갖지 않는다. 하나이거나 없다.

• 한쪽 극한과 마찬가지로, 함수가 어떤 점에서 미분계수를 가지면 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다.

• 이계도함수가 필요할 때가 있다. 복잡한 것은 아니다. 함수를 한 번 미분하고 그 결과를 한 번 더 미분하면 된다. 프라임 두 개로 나타낸다. f''(x) = (f'(x))'이다.

• 중요한 성질: 함수가 어떤 점에서 미분가능하면 그 점에서 연속이다. 이것도 극한의 성질에서 나온다. 거꾸로는 성립하지 않으니 주의하자. 함수가 어떤 점에서 연속이라고 해서 그 점에서 미분가능한 것은 아니다. 대표적인 예가 함수 f(x) = |x|이다. 그래프가 뾰족하게 꺾여서 그 꼭짓점에서는 접선의 기울기를 구할 수 없다. 좌미분계수와 우미분계수를 구해 보면 서로 다르다.

  

• 미분을 이용해 어떤 극한을 구할 수도 있다. 이때 로피탈의 정리를 쓴다.

함께 보기

이웃한 글에 미분 공식 모음이 있다.

풀이가 있는 미분 예제와 어려운 미분 예제도 볼 수 있다.

미분 계산을 빨리 확인하고 싶다면 Wolfram|Alpha 같은 수학 도구를 쓸 수 있다. 입력란에 예를 들어 “derive x^2+6x”라고 쓰면 Wolfram이 주어진 함수의 도함수를 구해 준다.