비례식

비례식은 정비례와 반비례를 이용한 간단한 계산에 쓰인다. 대개 서로 관계가 있는 세 값을 알고 네 번째 값을 구한다. 정비례와 반비례는 계산 방법이 다르므로 잘 구별해야 한다.

들어가며

음료수를 사러 가게에 갔다. 10,000원으로 음료수 5병을 샀다. 20,000원이 있다면 몇 병을 살 수 있을까? 비례식으로 풀 수 있는 전형적인 문제이다.

여기서는 간단하게 생각할 수 있다. 처음에는 10,000원이 있었고 두 번째에는 20,000원이 있다. 돈이 두 배이면 음료수도 두 배 살 수 있을 것이다. 따라서 20,000원으로는 2 · 5 = 10병을 살 수 있다.

“많을수록 많다”는 생각이 언제나 맞는 것은 아니다. 다음 예를 보자. 벽돌공 10명이 집 한 채를 4개월 만에 짓는다. 벽돌공 20명이 집을 지으면 얼마나 걸릴까? 앞의 방법대로 벽돌공이 두 배이니 기간도 두 배라고 하면, 벽돌공 20명은 2 · 4 = 8개월 만에 집을 짓는다는 결과가 나온다.

물론 이것은 틀렸다. 벽돌공이 많을수록 집을 짓는 데 걸리는 기간은 짧아지기 때문이다. 그러니 거꾸로 생각해야 한다. 벽돌공이 두 배이면 걸리는 기간은 절반이다. 그러면 올바른 결과가 나온다. 벽돌공 20명은 4/2 = 2개월 만에 집을 짓는다.

이 두 가지 방법에는 이름이 있다. 정비례와 반비례이다.

정비례

“많을수록 많다”가 성립하면 정비례이다. 예를 들면 다음과 같다.

• 돈이 많을수록 음료수, 오이, 킥보드를 많이 살 수 있다.
• 기자가 기사를 많이 쓸수록 돈을 많이 번다.
• 땅을 파는 사람이 많을수록 많이 판다.
• 펌프를 오래 돌릴수록 물을 많이 퍼낸다.

예제: 자동차가 100 km를 달리는 데 휘발유 6 L를 쓴다. 250 km를 달리면 휘발유를 몇 L 쓸까? 자동차가 많이 달릴수록 휘발유를 많이 쓰므로 정비례 문제이다.

풀이: 먼저 아는 것을 적는다. 아는 것과 구하려는 것을 한눈에 볼 수 있도록 다음과 같은 표를 쓴다.

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ L}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ L}\end{array}$$

첫째 줄에는 모두 아는 값을 쓴다. 둘째 줄의 오른쪽에는 모르는 값을, 왼쪽에는 그 모르는 값에 대응하는 값을 쓴다. 같은 열에는 언제나 같은 종류의 값이 와야 한다. 이 경우에는 한 열에는 킬로미터만, 다른 열에는 리터만 온다.

이런 문제를 푸는 데 도움이 되는 방법이 있다. 먼저 오른쪽에 아래에서 위로 향하는 화살표를 그린다.

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ L}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ L}\uparrow \end{array}$$

정비례이면 왼쪽에도 같은 화살표, 즉 아래에서 위로 향하는 화살표를 그린다.

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ L}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ L}\uparrow \end{array}$$

다음 단계에서는 화살표 방향을 따라 각 열에서 분수를 만든다. 분자는 화살표가 시작하는 수, 분모는 화살표가 끝나는 수이다. 두 분수가 같다고 놓는다. 첫 번째 열(킬로미터)에서는 분수 $\frac{250}{100}$을, 두 번째 열(리터)에서는 분수 $\frac{x}{6}$를 얻는다. 방정식으로 쓰면 다음과 같다.

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

이것은 보통의 일차방정식이므로 등식의 성질을 이용해 풀 수 있다. 양변에 6을 곱하면 우변의 분수가 없어진다.

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

이제 x를 계산하기만 하면 된다.

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

자동차가 250 km를 달리면 휘발유 15 L를 쓴다.

반비례

“많을수록 적다”가 성립하면 반비례이다. 예를 들면 다음과 같다.

• 피자를 나누어 먹는 사람이 많을수록 한 사람이 받는 조각은 작아진다.
• 인터넷이 빠를수록 영화를 빨리 내려받는다.
• 빨리 달릴수록 목적지에 빨리 도착한다.
• 집을 짓는 일꾼이 많을수록 집이 빨리 완성된다.

예제: 컴퓨터의 인터넷 속도가 초당 2 MB일 때 콘서트 영상을 내려받는 데 450초가 걸렸다. 인터넷 속도가 초당 6 MB라면 같은 영상을 내려받는 데 얼마나 걸릴까?

풀이 방법은 정비례와 같다. 먼저 값을 한눈에 보이는 표에 적는다.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{초}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{초}\end{array}$$

이제 화살표를 그린다. 오른쪽 화살표는 이번에도 아래에서 위로 향하고, 이것은 바뀌지 않는다. 하지만 반비례이므로 왼쪽 화살표는 반대 방향, 즉 위에서 아래로 향한다.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{초}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{초}\uparrow \end{array}$$

나머지는 같다. 이 표에서 화살표 방향을 따라 분수를 만든다. 두 분수 $\frac{2}{6}$, $\frac{x}{450}$를 얻고, 두 분수가 같다고 놓는다.

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

양변에 450을 곱한다.

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

그리고 x를 계산한다.

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

더 빠른 인터넷으로는 영상을 150초 만에 내려받는다.

이 방법이 직관과도 맞는다는 점에 주목하자. 마지막 단계에서 450을 3으로 나누었는데, 이것은 예상할 수 있는 일이다. 속도가 2 MB/s에서 6 MB/s로 세 배가 되었다. 그러니 영상을 내려받는 시간은 3분의 1로 줄어들 것이라고 예상할 수 있고 → 분수 $\frac{450}{3}$이 바로 이것을 나타낸다.

예제

예제 1: 어느 고급 호텔의 객실은 7박에 105만 원이다. 같은 객실에 12일 동안 머물면 얼마를 내야 할까?

먼저 값을 표에 적는다.

$$\begin{array}{rcl}7\text{일}& \dots & \mathrm{1,050,000}\text{원}\\ 12\text{일}& \dots & x\text{원}\end{array}$$

이제 정비례인지 반비례인지 정해야 한다. 오래 머물수록 돈을 적게 낼까? 그렇지 않고 오히려 반대이다. 오래 머물수록 돈을 많이 낸다. 따라서 정비례이다. 화살표를 그린다.

$$\begin{array}{rcl}7\text{일}& \dots & \mathrm{1,050,000}\text{원}\\ \uparrow 12\text{일}& \dots & x\text{원}\uparrow \end{array}$$

화살표를 따라 분수를 만든다.

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{\mathrm{1,050,000}}$$

방정식을 푼다.

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{\mathrm{1,050,000}}\\ \mathrm{1,050,000}\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& \mathrm{1,050,000}\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{\mathrm{1,050,000}\cdot 12}{7}\\ x& =& \mathrm{1,800,000}\end{array}$$

이 객실에 12일 동안 머물면 1,800,000원을 낸다.

예제 2: 아르바이트생 10명이 딸기를 따는데, 하루에 딸기 50 kg을 딴다. 아르바이트생 7명은 하루에 딸기를 몇 kg 딸까?

값을 표에 적는다.

$$\begin{array}{rcl}10\text{명}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{명}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

정비례일까, 반비례일까? 이 문제에는 작은 함정이 있다. 앞의 예와 달리 모르는 값이 있는 줄의 아르바이트생 수가 첫째 줄보다 적다. 그렇다고 헷갈리지 말자. 아르바이트생이 많을수록 딸기를 많이 따므로 여전히 정비례이다. 거꾸로 말해 아르바이트생이 적을수록 딸기를 적게 따는 것도 정비례이다. 따라서 두 화살표 모두 아래에서 위로 향한다.

$$\begin{array}{rcl}10\text{명}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{명}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

분수를 만든다.

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

그리고 x를 계산한다.

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

아르바이트생 7명은 하루에 딸기 35 kg을 딴다.

예제 3: 지호의 평균 보폭은 80 cm이다. 학교에서 집으로 오는 길에 걸음 수를 세었더니 1,300걸음이었다. 보폭이 꼭 1 m라면 몇 걸음이었을까?

먼저 표를 만든다. 문제에 80 cm와 1 m가 나온다는 점에 주의하자. 표에는 같은 단위의 값이 와야 하므로 1 m 대신 100 cm를 쓴다. 반대로 1 m와 0.8 m를 써도 된다.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{걸음}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{걸음}\end{array}$$

어느 쪽 비례일까? 보폭이 길수록 같은 거리를 가는 데 걸음 수가 적으므로 반비례이다. 왼쪽 화살표는 위에서 아래로, 오른쪽 화살표는 아래에서 위로 향한다.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{걸음}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{걸음}\uparrow \end{array}$$

분수는 다음과 같다.

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

x에 대해 정리하여 계산한다.

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

지호는 같은 거리를 1,040걸음만 걸으면 된다.

공식

앞의 계산에서 보듯이 과정은 언제나 같고, 간단한 공식으로 정리된다. 먼저 표를 문자로 쓴다.

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

그러면 다음 공식이 성립한다. 정비례일 때는 다음과 같다.

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

반비례일 때는 다음과 같다.

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$