분수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈
모든 유리수는 분수로 나타낼 수 있다. 분수는 두 부분으로 이루어진다. 위쪽을 분자, 아래쪽을 분모라고 한다. 번분수라는 것도 있는데, 분자나 분모에 또 분수가 있는 분수일 뿐이다. 그리고 분수 사이의 기호(더하기, 빼기, 등호 등)는 분자나 분모의 높이가 아니라 반드시 분수의 가로선 높이에 쓴다. 그런데 네 명 중 다섯 명은 분수를 어려워한다는 사실, 알고 있었을까?
기본
분수는 다음과 같은 꼴이다.
분수의 예는 다음과 같다.
이 분수는 “5분의 2”라고 읽는다. 한국어에서는 분모를 먼저 읽는다. 분모는 전체를 몇 등분했는지를 나타내고, 분자는 그중 몇 개인지를 나타낸다. 앞의 예에서는 5등분한 것 가운데 2개이다. 이름은 이 정도로 하자.
분자와 분모에는 사실상 어떤 수든, 또 분수도 올 수 있지만, 가장 흔한 것은 분자와 분모가 모두 자연수인 분수이다.
분수는 나눗셈을 다르게 쓴 것일 뿐이다. 분수의 값은 분자를 분모로 나누어 구한다. 일반적으로 분수
기약분수로 나타내기
분수는 여러 가지로 다룰 수 있고, 분수의 값을 바꾸지 않고 꼴을 바꿀 수 있다. 분모와 분자에 같은 수를 곱하거나(통분할 때처럼) 나눌(약분) 수 있다. 말로도 쉽게 이해할 수 있다. 예를 들어 2분의 1은 4분의 2나 8분의 4와 값이 같다. 분수는 모습만 바꾼 나눗셈이기 때문이다. 여러 가지 수를 나누어 2분의 1을 얻을 수 있다. 4를 8로 나누면 2분의 1이다. 10을 20으로 나누어도 2분의 1이다. 그래서 다음 분수들은 모두 값이 같다.
보다시피 처음 분수 1/2의 분자와 분모에 모두 2를 곱하여 값이 같은 다른 분수를 얻었다. 곱하면 분수 2/4, 즉 4분의 2가 나온다. 이 분수의 분자와 분모에 다시 2를 곱하면 분수 4/8, 즉 8분의 4를 얻는다. 이처럼 분자와 분모에 같은 수를 곱해도 분수의 값은 같다.
반대로 분자와 분모를 같은 수로 나누는 것을 약분이라고 한다. 분수를 약분하려면 분자와 분모를 모두 나누어떨어지게 하는 수를 찾아야 한다. 약분하면 분수가 훨씬 간단해져서 다루기 쉬우므로 실제로 아주 자주 쓴다. 분수 12/18이 있다면 얼핏 보아도 두 수가 짝수이므로 2로 나누어떨어진다. 물론 2로 약분할 수도 있지만, 다시 보면 분자와 분모가 6으로도 나누어떨어진다. 6으로 약분하면 2로만 약분할 때보다 더 간단한 분수가 된다. 그래서 6으로 약분한다. 분수 2/3이 나온다.
이 분수는 더 이상 약분할 수 없다. 분자와 분모를 모두 나누어떨어지게 하는 (1보다 큰) 수가 없다. 더 이상 약분할 수 없는 분수를 기약분수라고 한다. 분수는 언제나 기약분수로 다루도록 하자. 분수 계산을 할 때는 먼저 약분할 수 있는 분수가 없는지 살펴보자. 시간을 아낄 수 있다. 예를 하나 더 보자.
24와 42를 동시에 나누어떨어지게 하는 수는 무엇일까? 둘 다 짝수이므로 2는 분명히 된다. 분자와 분모를 2로 나눈다.
두 수를 동시에 나누어떨어지게 하는 수가 또 있을까? 있다. 이번에는 3이다.
분자와 분모를 동시에 나누어떨어지게 하는 수가 아직 있을까? 없다. 이 분수는 기약분수이다.
분수의 곱셈
놀랄 수도 있지만, 분수에서는 곱셈과 나눗셈이 덧셈과 뺄셈보다 쉽다. 두 분수를 곱할 때는 첫 번째 분수의 분자와 두 번째 분수의 분자를 곱하고, 분모는 분모끼리 곱하면 된다. 이것이 전부이다. 분수의 곱셈의 예는 다음과 같다.
분수의 곱셈에서는 약분하는 방법이 하나 더 있다. 한 분수 안에서만 약분하는 것이 아니라 엇갈려서 약분할 수도 있다. 첫 번째 분수의 분자와 두 번째 분수의 분모를 약분할 수 있으면 그렇게 해서 곱셈을 간단히 할 수 있다. 예는 다음과 같다(약분한 수에 표시를 했다).
무엇을 했을까? 4와 8을 모두 4로 나누었다. 곱의 값은 그대로이다. 지금 약분하지 않았다면 곱한 뒤에 약분할 수도 있었다.
분수와 정수의 곱셈은 정수 c를 c/1로 써서 두 분수의 곱셈으로 바꾸면 된다.
보다시피 분수에 정수를 곱할 때는 그 수를 분자에만 곱하면 된다.
분수의 나눗셈
분수의 나눗셈은 곱셈과 거의 같다. 한 분수를 다른 분수로 나누려면 두 번째 분수(나누는 수)의 분자와 분모를 바꾸어(역수) 보통처럼 곱한다. 분수의 나눗셈의 간단한 예는 다음과 같다(역수로 바꾼 뒤 12와 6을 약분할 수 있다는 점에 주목하자).
분수
무엇을 계산하는 것일까? 10 안에 2분의 1이 몇 번 들어가는지를 알아보는 것이다. 1 안에는 2분의 1이 두 번 들어가므로(2분의 1을 두 번 더하면 1이다) 10 안에는 스무 번 들어간다. 2에 10을 곱해도 똑같이 20이 나온다. 그러면 2분의 1을 뒤집으면 어떤 값이 될까? 1분의 2, 즉 2이다.
결과는 다음과 같다.
분수의 덧셈
분수의 덧셈은 조금 더 복잡하다. 분수는 분모가 같을 때에만 더할 수 있기 때문이다. 분모가 다르면 분모를 같게 만들어야 한다(통분). 그다음은 곱셈처럼 간단하다. 첫 번째 분수의 분자와 두 번째 분수의 분자를 더하면 된다. 다만 곱셈과 달리 분모는 그대로 둔다. 먼저 분모가 같은 분수의 덧셈의 예를 보자.
이해가 될까? 2분의 1에 2분의 5를 더하면 2분의 6이다. 충분히 이해가 된다.
분모가 다른 경우가 더 흔한데, 이때는 분모를 같게 만들어야 한다. 즉 한 분수나 두 분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱해서 분모를 같게 한다. 다음 두 분수를 더해 보자.
첫 번째 분수의 분모는 3이고 두 번째 분수의 분모는 2이다. 이대로는 더하기 어렵지만, 첫 번째 분수의 분자와 분모에 2를 곱하면 분모가 6이 되고, 두 번째 분수의 분자와 분모에 3을 곱해도 분모가 6이 된다. 이제 두 분수의 분모가 같으므로 쉽게 더할 수 있다. 그래서 첫 단계에서는 분모가 같아지도록 분수를 통분한다.
이제 분자를 더하고 분모는 그대로 둔다.
덧셈에서는 곱셈처럼 분수끼리 엇갈려서 약분할 수 없다는 점에 주의하자. 예를 들어 통분한 뒤 첫 번째 분수의 분모는 6이고 두 번째 분수의 분자는 15였다. 그래도 3으로 약분할 수는 없다.
이렇게 약분하는 것은 두 분수를 곱할 때만 허용된다.
두 분수를 일반적으로 통분하려면 어떻게 할까? 첫 번째 분수의 분자와 분모에 두 번째 분수의 분모를 곱하고, 두 번째 분수의 분자와 분모에 첫 번째 분수의 분모를 곱한다. 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
첫 번째 분수에는 두 번째 분수의 분모 d를 곱했고, 두 번째 분수에는 첫 번째 분수의 분모 b를 곱했다. 구체적인 예는 다음과 같다.
첫 번째 분수에는 8을, 두 번째 분수에는 4를 곱했다. 이제 분수를 더할 수 있다.
분수의 덧셈의 일반적인 공식은 다음과 같다.
분수의 뺄셈
분수의 뺄셈은 덧셈과 똑같고, 분자를 더하는 대신 뺀다는 점만 다르다. 앞의 덧셈 공식을 다음과 같이 고친다.
구체적인 예를 보자. 먼저 통분한다.
이제 분자를 빼고 분모는 그대로 둔다.
비례식의 성질(외항의 곱과 내항의 곱)
방정식에서 두 분수가 같을 때는 이 등식을 간단히 만드는 성질을 쓸 수 있다. 사실은 방정식의 양변에 같은 수를 두 번 곱하는 것일 뿐이다. 두 분수로 된 방정식이 있다고 하자.
이 방정식의 양변에 첫 번째 분수의 분모와 두 번째 분수의 분모를 차례로 곱한다. 먼저 첫 번째 분수의 분모 b를 곱하면 다음을 얻는다.
다음으로 d를 곱하면 다음을 얻는다.
첫 번째 분수는 b로, 두 번째 분수는 d로 약분한다. 그러면 다음 방정식을 얻는다.
이것을 공식으로 생각할 수 있다. 두 분수가 같다는 꼴의 방정식은 다음과 같이 바꿀 수 있다.
예를 보자. 첫 단계에서는 앞의 공식에 따라 분수를 풀어 쓰고, 둘째 단계에서는 양변의 식을 간단히 정리한다.
이다음은 보통의 이차방정식처럼 풀면 되는데, 이 글의 범위를 벗어난다.
관련 주제
분수는 식을 간단히 하는 문제에 자주 나온다. 이에 대해서는 유리식 글을 보자. 특히 다항식을 다항식으로 나누는 알고리즘도 있다.