반올림

반올림은 복잡한 수를 간단한 수로 바꾸는 방법이다. 예를 들어 98은 쓸데없이 복잡하므로 깔끔한 수 100으로 간단히 할 수 있다.

비슷한 수

반올림의 목적은 정확하지만 너무 복잡한 수를, 값은 비슷하면서 더 간단한 수로 바꾸는 것이다. 보통은 자동차가 시속 61.49 km로 달린다는 것까지 알 필요가 없고, 시속 60 km쯤으로 달린다는 것만 알아도 충분하다. 이처럼 61.49를 60으로 바꾸는 것을 어림한다고 하고, 그 방법의 하나가 반올림이다.

반올림의 원리

먼저 수를 십의 자리까지 나타내도록 반올림하는 방법을 알아보자. 즉 결과가 10으로 나누어떨어져야 한다. 57은 10으로 나누어떨어지지 않지만 80이나 150은 나누어떨어진다. 10으로 나누어떨어지는 수는 모두 일의 자리(마지막 숫자)가 0이다.

이제 57을 어떤 수로 반올림할지 생각해 보자. 당연히 가까운 수로 정한다. 10으로 나누어떨어지는 수 가운데 가장 가까운 수는 무엇일까? 후보는 두 개이다. 57보다 작은 수와 57보다 큰 수이다. 57보다 작으면서 10으로 나누어떨어지는 첫 번째 수는 50이고, 반대쪽은 60이다.

그런데 57은 50보다 60에 더 가깝다. 60과 57 사이의 거리는 3(60 − 57)이고, 57과 50 사이의 거리는 7(57 − 50)이기 때문이다. 따라서 57을 십의 자리까지 반올림하면 60이다. 60은 10으로 나누어떨어지는 수 가운데 57에 가장 가까운 수이다.

그런데 55를 십의 자리까지 반올림하면 어떻게 될까? 55는 50과 60에서 똑같이 5만큼 떨어져 있다. 이럴 때는 올린다. 즉 더 큰 수로 반올림한다. 따라서 55는 60으로 반올림한다. (기술적인 이유로 다른 방법을 쓰는 경우도 가끔 있다.)

반올림의 규칙

이번에도 십의 자리까지 반올림한다고 하자.

반올림에는 크게 두 가지 경우가 있다. 첫째는 내리는 것, 즉 원래 수를 작게 만드는 것이다. 마지막 숫자가 0부터 4까지일 때 내린다. 예를 들어 23은 마지막 숫자가 3이므로 20으로, 54는 마지막 숫자가 4이므로 50으로 반올림한다. 80은 80이다. 주의하자. 마지막 숫자가 0이면 70으로 내리는 것이 아니라 수가 그대로이다.

둘째는 올리는 것, 즉 원래 수를 크게 만드는 것이다. 마지막 숫자가 5부터 9까지일 때 올린다. 그래서 19는 20으로, 56은 60으로, 88은 90으로 반올림한다. 마지막 숫자가 5일 때도 올리므로 15는 20으로, 75는 80으로 반올림한다.

마지막 숫자가 0, 1, 2, 3, 4이면 내리고, 5, 6, 7, 8, 9이면 올린다.

여러 자리에서의 반올림

지금까지는 십의 자리까지만 반올림했다. 하지만 반올림할 자리는 마음대로 정할 수 있다. 자리란 십의 자리, 백의 자리, 천의 자리… 등을 말한다.

백의 자리까지 반올림한다는 것은 결과가 100으로 나누어떨어지게 한다는 뜻이다. 1,853은 100으로 나누어떨어지지 않고 7,200은 나누어떨어진다. 다른 자리도 마찬가지이다. 이런 수는 언제나 끝에 0이 몇 개 있다. 10으로 나누어떨어지는 수는 끝에 0이 적어도 하나(더 많을 수도 있다. 7,200도 물론 10으로 나누어떨어진다), 100으로 나누어떨어지는 수는 0이 두 개, 1,000으로 나누어떨어지는 수는 0이 세 개 있다.

백의 자리까지 반올림하려면 100으로 나누어떨어지는 수 가운데 가장 가까운 수를 찾는다. 그래서 389는 400으로 반올림한다. 400이 300보다 389에 더 가깝기 때문이다.

여러 자리에서 반올림하는 규칙

방법은 십의 자리까지 반올림할 때와 사실상 같다. 다만 마지막 숫자가 아니라, 0이 되어야 하는 숫자 가운데 가장 왼쪽 숫자를 본다.

십의 자리까지 반올림할 때는 오른쪽에서 첫 번째 숫자, 백의 자리까지는 오른쪽에서 두 번째 숫자, 천의 자리까지는 오른쪽에서 세 번째 숫자를 본다.

6,482를 백의 자리까지 반올림해 보자. 결과는 끝에 0이 적어도 두 개 있어야 하므로 오른쪽에서 두 번째 숫자를 본다. 그 숫자는 8이다. 8이므로 올려야 한다는 규칙은 그대로이다. 오른쪽에서 세 번째 숫자 4를 1만큼 키우고 마지막 두 숫자를 0으로 바꾸면 6,500을 얻는다. 6,500은 100으로 나누어떨어지는 수 가운데 6,482보다 크면서 가장 가까운 수이다.

같은 수 6,482를 천의 자리까지 반올림해 보자. 결과는 마지막 세 숫자가 0이어야 한다. 오른쪽에서 세 번째 숫자인 4를 본다. 4이므로 내린다. 이때 오른쪽에서 네 번째 숫자는 바뀌지 않고, 마지막 세 숫자만 0으로 바꾸므로 6,000을 얻는다.

소수

소수도 반올림할 수 있고, 이때도 어느 자리까지 반올림하느냐에 따라 결과가 달라진다. 예를 들어 96.6을 일의 자리까지 반올림하면 97이다. 더 작은 자리에서도 마찬가지이다. 0.327을 생각해 보자. 이 수를 소수 둘째 자리까지 반올림하려면 소수점 아래 셋째 숫자를 본다. 7이므로 올려서 0.330이 된다. 소수에서는 끝의 0을 쓰지 않아도 된다. 3.200은 3.2와 같다. 그래서 앞의 결과는 0.33으로 쓸 수 있다. 처음 수를 소수 첫째 자리까지 반올림하면 0.3이 된다.

단계적 반올림

어떤 수를 어떤 자리까지 반올림할 때는 언제나 바로 아래 자리 하나만 본다. 모든 자리에서 차례로 반올림하지 않는다. 예를 들어 746을 백의 자리까지 반올림하면 700이 된다. 오른쪽에서 두 번째 숫자가 4이므로 내리기 때문이다.

하지만 먼저 십의 자리까지 반올림할 수도 있다. 그러면 6이므로 올려서 750이 된다. 그다음 백의 자리까지 반올림하면 이제 4가 아니라 5를 보고 반올림하므로 700이 아니라 800이 나온다.

이런 방법을 단계적 반올림이라고 하는데, 시간이 더 걸리고 덜 정확하기 때문에 보통은 쓰지 않는다.