복리

이자를 여러 번 붙여야 할 때는 이자를 복리로 계산한다. 1년에 한 번 이자가 붙는 빚을 5년 동안 지고 있으면 이자가 다섯 번 붙는다. 이것을 복리라고 한다.

복리

빚에 이자가 여러 번 붙는 것을 복리라고 한다. 앞의 공식에서는 퍼센트를 썼지만, 다음 공식에서는 퍼센트를 보통의 소수로 바꾸는 편이 더 간단하다. 바꾸는 방법은 쉽다. 퍼센트를 100으로 나누면 된다. 이율이 50%이면 0.5, 즉 절반을 얻는다. 이율이 7%이면 0.07을 얻는다. 이 소수를 문자 “d”로 나타내자. 공식으로 쓰면 다음과 같다.

$$d=\frac{\text{이율}}{100}$$

이 수를 빚에 곱하면 바로 이자가 나온다. 삼촌이 연 이율 10%로 2억 원을 빌려주었다고 하자. 소수로는 0.1이다. 1년 뒤의 이자는 200,000,000 · 0.1 = 20,000,000원이다. 즉 빌린 돈보다 2천만 원을 더 갚아야 한다. 다음 해의 이자는 얼마일까? 원래 금액에 첫해의 이자를 더하고 다시 0.1을 곱해야 한다.

$$(\mathrm{200,000,000}+\mathrm{20,000,000})\cdot 0.1=\mathrm{22,000,000}$$

그다음 해에는 이자로 2,200만 원을 내야 하니 첫해보다 많다.

이자만이 아니라 빚 전체를 바로 구하고 싶으면, 소수로 나타낸 이율에 1을 더하고 그 수를 빚에 곱하면 된다.

$$\mathrm{200,000,000}\cdot 1.1=\mathrm{220,000,000}$$

첫해가 지나면 2억 2천만 원을 빚지게 된다. 3년 뒤의 빚을 구하려면 1.1을 여러 번 잇달아 곱한다.

$$((\mathrm{200,000,000}\cdot 1.1)\cdot 1.1)\cdot 1.1=\mathrm{266,200,000}$$

여기서 벌써 공식이 조금씩 보이기 시작한다. 곱셈에서는 순서도 괄호도 상관없으므로 이 식을 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

$$\mathrm{200,000,000}\cdot (1.1\cdot 1.1\cdot 1.1)$$

이를 거듭제곱으로 나타내기만 하면 된다.

$$\mathrm{200,000,000}\cdot {1.1}^3$$

여기서 일반적인 공식을 매끄럽게 이끌어 낼 수 있다.

복리의 최종 공식

복리 전체의 공식은 다음과 같다. 이어서 설명하겠다.

$$j_t=j_0\cdot (1+d{)}^t$$

문자 “j”는 원금, 즉 빚진 금액을 나타낸다. 아래 첨자는 이자가 이미 몇 번 붙었는지를 나타낸다. 그래서 j₀은 아직 이자가 한 번도 붙지 않은 금액, 즉 처음에 받은 금액(삼촌에게 빌린 2억 원)이다. 문자 “t”는 계산하려는 이자 계산 횟수이다. 10년 뒤를 계산하려면 t = 10이다. j_t는 이자가 t번 붙은 뒤의 빚이다. 문자 “d”는 소수로 나타낸 이율이다(위 참고).

삼촌에게 15년 뒤에야 전액을 갚는다면 이자를 얼마나 내게 되는지 계산해 보자.

$$j_t=j_0\cdot (1+d{)}^t=\mathrm{200,000,000}\cdot (1+0.1{)}^{15}=\mathrm{835,449,634}$$

이것은 이자 자체가 아니라 최종적으로 빚진 금액이라는 점에 주의하자. 이자만 알고 싶으면 원래 빚인 2억 원을 빼야 한다. 그러면 635,449,634원이다.

예제

민준은 새 차를 사고 싶었지만 당연히 돈이 없어서 5천만 원, 즉 50,000,000원을 빌렸다. 이율은 8%였고 이자는 해마다 붙었다. 민준은 돈을 펑펑 써서 첫해에는 200만 원, 즉 2,000,000원만 갚았다. 빚은 48,000,000원으로 줄었다. 그런데 해가 바뀔 때 이자가 붙었고, 이자는 48,000,000 · 0.08 = 3,840,000원으로 계산되었다. 그래서 새해에 민준이 빚진 돈은 48,000,000 + 3,840,000 = 51,840,000원이 되었다. 처음보다 많다.

민준은 전혀 걱정하지 않고 이번에도 2,000,000원만 갚았다. 그래서 빚은 49,840,000원이 되었다. 이자가 붙자 53,827,200원으로 뛰었다. 빚은 작년보다도 재작년보다도 많아졌다. 민준은 그것을 깨닫지 못하고 계속 해마다 2,000,000원만 갚았다. 평생 갚았는데도 결국 수억 원의 빚을 남기고 세상을 떠났다. 이렇게는 하지 말자.

더 읽을거리

복리는 자연로그의 밑 e와 밀접한 관계가 있다. 자연로그의 밑 e는 어디서 왔을까도 꼭 읽어 보자. 또 주택담보대출 이자를 계산하는 방법을 알고 싶다면 복리가 필요하다.