로그함수

로그함수는 지수함수의 역함수이다.

로그란 무엇인가

로그함수는 기호 log로 나타내고, 자연로그(뒤에서 설명한다)일 때는 ln으로 나타낸다. 로그함수의 기본 식은 다음과 같다.

$$y={\log }_{a}x$$

이 식은 “a를 밑으로 하는 x의 로그”라고 읽는다. 이 로그함수는 지수함수 f(x) = a^x의 역함수이다. 로그함수의 함숫값을 로그라고 한다.

로그함수는 지수함수의 역함수이므로 다음 관계가 성립해야 한다.

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

즉, a^y의 값이 x와 같으면 a를 밑으로 하는 x의 로그는 y와 같다. 몇 가지 예를 살펴보자. 예를 들어 지수함수 f(x) = 2^x에 대해 생각해 보자. 이 함수의 역함수인 로그함수는 어떻게 될까? f⁻¹(x) = log₂x이다. 지수함수에 3을 대입하면 f(3) = 2³ = 8을 얻는다.

그러면 어떤 관계가 성립해야 할까? 역함수 f⁻¹에 8을 넣으면 로그함수는 3을 돌려주어야 한다. 3은 지수함수에 넣은 값이고 8은 그 결과였기 때문이다. 역함수는 거꾸로 작용하므로 8을 넣으면 3이 나온다.

따라서 2³ = 8이라고 쓰면, 역함수인 로그함수에서는 log₂8 = 3이라는 관계를 얻는다. 그렇다면 로그란 무엇인가? 로그는 밑을 몇 제곱해야 x가 되는지를 나타내는 지수이다.

중요한 로그함수

로그함수 중에는 특히 중요한 것이 있다. 그 하나가 자연로그의 밑을 밑으로 하는 “자연로그”이다. 이 수는 문자 e로 나타낸다. e는 무리수, 즉 소수점 아래가 순환하지 않고 끝없이 이어지는 수이며, 근삿값은 e = 2.718 281 828…이다. 자연로그는 log_ex 또는 더 간단히 ln x로 쓴다. 기호에 있는 “n”은 라틴어 “logarithmus naturalis”에서 왔는데, 영어의 “natural”(자연의)을 떠올리면 기억하기 쉽다.

또 하나 중요한 로그는 10을 밑으로 하는 “상용로그”이다. 보통 log₁₀x 또는 간단히 log x로 쓴다. 로그에 밑이 적혀 있지 않으면 밑은 10이다.

로그함수의 성질

앞에서 본 것처럼 로그함수는 지수함수의 역함수이다. 그래서 지수함수의 성질과 조건 가운데 일부를 그대로 물려받는다. 지수함수는 f(x) = a^x 꼴이고, 여기서 a는 0보다 크고 1이 아닌 실수이다. 따라서 로그의 밑 a도 0보다 크고 1이 아니어야 한다. 로그함수의 식을 다시 한 번 쓰면 다음과 같다.

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

로그함수는 역함수이므로 정의역과 치역도 이미 알 수 있다. 로그함수의 정의역은 지수함수의 치역과 같으므로 로그함수의 정의역은 (0, ∞)이다. 로그함수의 치역은 지수함수의 정의역과 같으므로 실수 전체의 집합이다.

로그함수의 그래프

지수함수와 마찬가지로 두 경우를 나누어 생각해야 한다. 밑 a가 구간 (0, 1)에 있을 때와 구간 (1, ∞)에 있을 때이다. 첫 번째 경우, 즉 a가 구간 (0, 1)에 있을 때 그래프는 다음과 같다.

밑 a가 구간 (1, ∞)에 있을 때 그래프는 다음과 같다.

지수함수와 그 역함수인 로그함수를 한 좌표평면에 그린 그래프도 살펴보자(파란색이 로그함수, 빨간색이 지수함수이다).

그래프가 점 (1, 0)을 지나는 이유

두 그래프는 모두 x = 1에서 x축과 만난다. 모든 지수함수의 그래프는 점 (0, 1)을 지나므로 이는 당연하다. 로그함수는 그 역함수이므로 항상 점 (1, 0)을 지나야 한다. 이치에 맞는 일이다. 그래프가 점 (1, 0)을 지난다는 것은 x = 1을 넣으면 f(x) = 0이 나온다는 뜻이다.

로그로 말하면, 밑을 몇 제곱해야 1이 되는지를 찾는 것이다. 그 지수는 무엇일까? 0뿐이다. 어떤 수든 0제곱하면 1이므로, 밑이 무엇이든 로그함수는 점 (1, 0)을 지난다. (주의: 밑은 아무 수나 될 수 있는 것이 아니라 a>0이고 a ≠ 1이어야 한다.)

로그의 성질 (공식)

로그에 대해 성립하는 중요한 관계와 공식은 다음과 같다.

밑 a가 로그의 밑이 될 수 있는 수, 즉 a>0, a ≠ 1이라고 하자. 또 x₁과 x₂는 임의의 양의 실수라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\end{array}$$

로그의 정의에서 바로 나오는 관계도 있다.

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

자연로그로 다른 로그를 나타내는 방법

계산기에 임의의 밑을 가진 로그는 없고 자연로그와 상용로그만 있는 경우가 있다. 다른 밑의 로그를 계산해야 할 때는 어떻게 할까? 이때 도움이 되는 공식이 밑변환 공식이다.

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

b로 자연로그의 밑 e를 택하면 다음 공식을 얻는다.

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

첫 번째 절에서는 2를 밑으로 하는 8의 로그를 구해야 했다. 자연로그를 사용하면 다음과 같이 계산할 수 있다.

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

반드시 자연로그를 쓸 필요는 없고 상용로그를 써도 된다. 공식은 어느 쪽이든 성립하므로 다음도 성립한다.

$${\log }_{2}8=\frac{\log 8}{\log 2}=3$$

(밑이 적혀 있지 않으면 밑은 a = 10이라는 점을 기억하자.)

계산기

로그를 계산해야 한다면 로그 계산기 🧮를 쓸 수 있다.