삼각함수

이 글에서는 삼각함수를 다룬다. 영어 trigonometry는 그리스어에서 왔는데, trigon은 삼각형, metria는 측정을 뜻한다. 기본적인 삼각함수는 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 네 가지이다. 이 글처럼 직각삼각형의 변의 비로 정의한 사인·코사인·탄젠트를 중학교에서는 삼각비라고 한다.

삼각형의 기본 용어

삼각함수는 삼각형의 각을 다루므로, 먼저 삼각형과 관련된 용어를 정리해 보자.

그림은 꼭짓점 A, B, C로 이루어진 삼각형, 즉 삼각형 ABC이다. 변은 AB, BC, AC 세 개이다. 이 변들에는 소문자로 된 이름도 붙어 있다는 점에 주목하자. 이 이름에는 규칙이 있다. 꼭짓점 A의 맞은편에 있는 변이 a이다. 꼭짓점 B의 맞은편 변은 b, 꼭짓점 C의 맞은편 변은 c이다. 즉 각 꼭짓점의 이름은 언제나 그 맞은편 변, 다시 말해 그 꼭짓점을 지나지 않는 변의 이름이 된다.

모든 삼각형에는 세 내각이 있고, 보통 그리스 문자 알파 α, 베타 β, 감마 γ로 나타낸다. 세 내각의 합은 언제나 180°이다. 보통 꼭짓점 A의 각이 알파, B의 각이 베타, C의 각이 감마이다.

삼각함수는 어떤 삼각형에서도 쓸 수 있지만, 직각삼각형에서만 다루는 경우가 많다. 직각삼각형은 한 각이 직각, 즉 90°인 삼각형이다. 예를 들면 다음과 같다.

직각삼각형의 변에는 특별한 이름이 있다. 가장 긴 변은 직각의 맞은편에 있으며 빗변이라고 한다(그림의 파란 변). 나머지 짧은 두 변(빨간 변)은 직각을 낀 변이다. 이 글에서 가장 중요한 것은 이 삼각형이다.

직각을 낀 변의 이름

이제 첫 번째 삼각함수인 사인으로 넘어가자. 모든 삼각함수는 삼각형의 어떤 각과 두 변의 길이의 비 사이의 관계를 나타낸다. 보통 그 각은 직각이 아니라 나머지 두 각 가운데 하나이다. 삼각함수에 넣는 것은 각의 크기이고, 나오는 것은 두 변의 비이다. 함수마다 어떤 변을 쓰는지가 다르다.

사인은 대변과 빗변을 쓴다. 주어진 각에 대한 이웃변과 대변이 무엇인지는 다음 그림과 같다(한국 중학교 교과서에서는 그림에 따라 대변을 높이, 이웃변을 밑변이라고 부르기도 한다).

그림에서는 각 베타, 즉 꼭짓점 B의 각을 기준으로 한다. 검은 변은 빗변이며, 빗변은 기준이 되는 각이 달라져도 바뀌지 않는다. 빨간색으로 표시한 변 c는 각 베타에 붙어 있으므로 이웃변이다. 파란색으로 표시한 변 b는 각 베타의 맞은편에 있으므로 대변이다. 중요한 것은 이 용어들이 언제나 각을 기준으로 한다는 점이다. 각 감마를 기준으로 그림을 보면 다음과 같다.

사인 함수

각 알파의 사인은 빗변의 길이에 대한 대변의 길이의 비이다. 무슨 뜻일까? (예를 들어 계산기로) 각 알파의 사인을 구하면 다음 몫의 값을 얻는다.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{대변의 길이}}{\text{빗변의 길이}}$$

다음 삼각형과 각 베타로 확인해 보자. 변의 길이가 |a| = 5, |b| = 3, |c| = 4인 깔끔한 삼각형이다. 각 베타의 대변은 변 b이고 빗변은 변 a이다. 몫 b/a, 즉 3/5를 계산하면 0.6이다. 따라서 각 베타의 사인은 0.6이다. 각 베타의 크기는 36° 52′이며, 이 각을 계산기에 넣고 사인을 구하면 (조금 반올림하면) 0.6이 나온다. 결과는 사인 계산기로 확인할 수 있다.

어디에 쓸까

각 하나와 변 하나의 길이를 알 때 나머지 변의 길이를 구하는 데 쓸 수 있다.

먼저 아는 것을 적는다. 각 알파를 알고 있다. 이 각의 사인은 빗변(변 b)에 대한 대변(변 a)의 비이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

각의 사인은 알고 있거나 계산할 수 있고, 변 a의 길이도 알고 있다. 모르는 것은 변 b의 길이뿐이다. 그래서 식을 |b|에 대해 정리한다. 먼저 양변에 변 b의 길이를 곱한다.

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

이제 양변을 sin(α)로 나누면 좌변에 변 b의 길이만 있는 꼴을 얻는다.

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

변 a의 길이는 3이다. 30°의 사인은 2분의 1이다. 대입한다.

$$|b|=\frac{3}{0.5}=6$$

변 b의 길이는 6이다.

코사인 함수

코사인은 사인과 아주 비슷하다. 용어는 앞 절과 같으므로 바로 정의로 넘어가자.

각 알파의 코사인은 빗변의 길이에 대한 이웃변의 길이의 비이다. 즉 계산기로 각 알파의 코사인을 구하면 다음 몫의 값을 얻는다.

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{이웃변의 길이}}{\text{빗변의 길이}}.$$

사인과 코사인의 차이를 다음 그림으로 한눈에 볼 수 있다.

두 함수 모두 삼각형의 빗변을 쓰며, 빗변은 검은색 그대로이다. 사인은 대변, 즉 각 알파에 대해 빨간 변 BC를 쓴다. 코사인은 이웃변, 즉 파란 변 AB를 쓴다.

앞 절의 예로 돌아가자. 변 a의 길이를 알 때 빗변의 길이를 구했다. 이번에는 각 알파와 앞의 예에서 구한 빗변의 길이 b = 6을 이용해 변 c의 길이를 구해 보자.

무엇을 알고 있을까? 각 알파는 30°이고, 변 b의 길이는 6이며, 코사인은 빗변에 대한 이웃변의 비이다. 이웃변은 변 c이고, 이것이 구하려는 변이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

이 식을 |c|에 대해 정리해야 한다. 양변에 변 b의 길이를 곱하면 우변에는 변 c의 길이만 남는다.

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

좌변과 우변을 바꾼다.

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

우변의 값은 알고 있거나 계산할 수 있다. 30°의 코사인은 약 0.866이다(코사인 계산기 참고). 식에 대입한다.

$$|c|=6\cdot 0.866=5.196$$

이것이 변 c의 길이이다. 뒤에서 보겠지만 30°의 코사인은 특수각의 값으로

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=0.866025\dots ),$$

이므로, 앞의 길이를 더 정확히 쓰면 다음과 같다.

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

탄젠트와 코탄젠트

삼각함수에는 탄젠트와 코탄젠트 두 가지가 더 있다. 앞의 삼각함수와 가장 다른 점은 탄젠트와 코탄젠트는 직각을 낀 두 변만 쓰고 빗변은 쓰지 않는다는 것이다.

각 알파의 탄젠트는 이웃변의 길이에 대한 대변의 길이의 비이다. 탄젠트는 tan로 나타낸다(체코 등에서는 tg라고도 쓴다).

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{대변의 길이}}{\text{이웃변의 길이}}$$

각 알파의 코탄젠트는 대변의 길이에 대한 이웃변의 길이의 비이다. 코탄젠트는 cot로 나타낸다.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{이웃변의 길이}}{\text{대변의 길이}}$$

용어도 계산 방법도 앞 절과 같다. 앞의 예로 돌아가 각 알파의 크기와 변 a의 길이 a = 3만으로 변 c의 길이를 구해 보자.

탄젠트는 이웃변에 대한 대변의 비이므로 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

변 c의 길이를 구해야 하므로 이 식을 |c|에 대해 정리한다. 앞의 예처럼 양변에 |c|를 곱하고 tan(α)로 나눈다.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/÷\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

우변에 대입한다. 30°의 탄젠트는 약 0.5773이다(탄젠트 계산기 참고).

$$|c|=\frac{3}{0.5773}=5.196.$$

30°의 탄젠트는 특수각의 값으로 다음과 같다.

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

따라서 앞의 계산을 정확히 할 수 있다.

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

특수각의 삼각함수 값

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 몇몇 깔끔한 각에서 깔끔한 값을 갖는다. 기본적인 값을 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

함께 보기

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