역삼각함수

기본 삼각함수를 제대로 쓰려면 그 역함수도 정의해야 한다. 이를 역삼각함수라고 하며, 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트, 아크코탄젠트가 있다. 줄여서 arcsin, arccos, arctan, arccot이라고 쓴다.

들어가며

예제부터 시작하자. 각 알파의 크기를 구하시오.

삼각형의 두 변의 길이, b = 3과 a = 6을 알고 있다. 각 알파를 구해야 하는데, 변 a는 빗변이고 변 b는 각 알파의 대변이다. 대변을 쓰는 것은 사인 함수이다. 정확히 말하면 각 알파의 사인은 빗변의 길이에 대한 대변의 길이의 비이다. 공식에 대입해 보자.

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

이제 각 알파의 사인이 2분의 1이라는 것을 알았다. 문제는 이 수로부터 각을 어떻게 구하느냐이다. 이를 위해 사인 함수의 역함수가 필요하다. 사인 함수는 각을 받아 두 변의 비를 내놓는다. 그런데 지금 필요한 것은 비를 넣으면 각이 나오는 함수이다.

이 일을 하는 것이 역삼각함수이다. 역삼각함수를 제대로 정의하기 전에 답부터 확인하면, 2분의 1의 아크사인은 30°이다. 계산기로 같은 문제를 풀려면 아크사인 버튼을 쓰면 되는데, 흔히 sin⁻¹로 표시되어 있다.

사인의 역함수?

먼저 사인 함수의 그래프를 보자.

함수의 성질을 다시 떠올려 보자. 함수 f가 일대일함수이면 역함수가 있다. 무슨 뜻일까? 정의역에서 서로 다른 두 원소 x₁과 x₂를 고르면 그 함숫값 f(x₁)과 f(x₂)도 서로 달라야 한다는 뜻이다. 이 조건은 가능한 모든 쌍에 대해 성립해야 한다. 그래프로 쉽게 알 수 있다. x축에 평행한 직선 가운데 함수 f의 그래프와 두 번 이상 만나는 것이 있으면 이 함수는 일대일함수가 아니다.

사인 함수에서는 분명히 그런 직선을 찾을 수 있다. 예를 들어 x축 자체가 사인 함수의 그래프와 두 번 이상, 정확히는 무수히 많이 만난다. 따라서 사인 함수는 일대일함수가 아니므로 역함수가 없다.

사인 함수를 제한한 함수의 역함수

앞 절에서 사인 함수에는 역함수가 없다는 것을 알았다. 그런데 처음 절에서는 원하는 대로 작동하는 함수 arcsin이 있다는 것도 보았다. 어떻게 된 것일까? 사인 함수에서 일대일인 부분만 골라내고, 이렇게 제한한 함수의 역함수를 정의한 것이다.

사인 함수의 정의역을 줄이면 함수를 제한할 수 있다. 원래 정의역(실수 전체)에서 어떤 부분집합을 고를까? 여러 가지를 고를 수 있지만 가장 좋은 것은 다음 구간이다.

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

이 구간을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

이 정의역에서는 사인 함수가 일대일이므로 역함수를 정의할 수 있다. 역함수의 그래프는 원래 함수의 그래프와 직선 y = x에 대하여 대칭이므로, 제한한 사인 함수의 역함수 그래프를 그릴 수 있다. 그림을 보자.

파란색은 원래 사인 함수, 빨간색은 역함수를 구하려는 부분, 초록색은 역함수이다. 이 역함수를 arcsin 또는 간단히 asin으로 나타낸다.

arcsin의 정의역과 치역

이 두 함수에서 정의역과 치역이 서로 바뀌는 것을 잘 볼 수 있다. 다음 그림을 보자. 같은 그래프를 같은 색으로 그리고 조금 확대해서 선과 점을 덧붙였다.

제한한 사인 함수(빨간 선)의 정의역은 다음 구간이었다.

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

정의역은 함수가 정의되는 모든 x이다. 일대일함수를 얻으려고 이 구간에서만 정의했다. 그래프에서는 이 x들을 x축에서 찾는다.

이제 함수 arcsin(초록 선)의 치역을 보자. 치역은 함수가 내놓을 수 있는 모든 y이므로 y축에서 찾는다. 함수 arcsin의 치역도 다음 구간이다.

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

이는 역함수의 일반적인 성질이므로 놀랄 일이 아니다. 제한한 사인 함수의 치역과 arcsin의 정의역도 마찬가지이다. 사인 함수의 치역은 −1부터 1까지의 구간이다. 사인 함수는 이 값들만 내놓을 수 있고, 어떤 각의 사인도 1보다 크거나 −1보다 작지 않다. 어떤 각의 사인도 1보다 클 수 없으므로 그 역함수도 1보다 큰 값을 받을 수 없다는 것은 당연하다. 그래서 함수 arcsin의 정의역도 구간 [−1, 1]이다.

아크사인의 값은 계산기로 구할 수 있다.

아크코사인

이제 코사인의 역함수를 간단히 보자. 사인 함수와 같은 이유로 코사인도 일대일함수가 아니므로 역함수가 없다. 하지만 정의역의 부분집합을 골라 일대일함수를 얻을 수 있다.

파란색은 코사인 함수의 그래프이고, 빨간 부분은 이 함수를 정의역 [0, π]로 제한한 것이다. 초록 선은 이렇게 제한한 코사인 함수의 역함수인 함수 arccos(x)의 그래프이다.

아크탄젠트

탄젠트 함수의 그래프는 다음과 같다.

그래프의 모양은 앞의 함수들과 다르지만 역시 일대일이 아니다. 이번에도 함수를 제한해서 일대일인 부분을 고를 수 있다. 다음 열린구간을 고른다.

$$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

그러면 역함수는 다음과 같다.

아크코탄젠트

앞의 경우와 모두 같다. 코탄젠트 함수의 그래프는 다음과 같다. 제한한 코탄젠트 함수의 정의역은 열린구간 (0, π)이다.