합집합, 교집합, 차집합, 여집합

집합 사이에는 여러 가지 연산을 할 수 있다. 가장 기본적인 연산은 합집합, 교집합, 차집합, 여집합이다.

합집합

합집합은 기호 ∪으로 나타낸다. 즉 집합 A와 B의 합집합은 A ∪ B로 쓴다. 집합 A와 B의 합집합은 집합 A의 원소와 집합 B의 원소를 모두 원소로 가지는 새로운 집합이다. 정의는 다음과 같다.

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

예를 들어 두 집합 A = {1, 3, 5, 7}과 B = {2, 4, 6}이 있다고 하자. 합집합은 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}이다. 이 집합에는 두 집합의 원소가 모두 들어 있다.

다른 예로 A = {1, 2, 3}과 B = {2, 3, 4}를 보자. 합집합은 A ∪ B = {1, 2, 3, 4}이다. 원소 2와 3은 결과에 두 번 들어가지 않는다. 집합에는 같은 원소가 여러 번 들어 있지 않기 때문이다.

그 밖의 성질은 다음과 같다.

• A ∪ A = A: 같은 두 집합의 합집합은 다시 그 집합이다.
• A ∪ B = B ∪ A: 합집합에서는 교환법칙이 성립한다. 순서는 상관없다.
• A ∪ ∅ = A: 공집합에는 원소가 하나도 없으므로 합칠 것이 없다.

교집합

두 집합 A와 B의 교집합은 두 집합에 공통으로 들어 있는 원소를 원소로 가지는 새로운 집합이다. 더 정확히 말하면, A에 속하고 동시에 B에 속하는 원소를 가지는 집합이다. 교집합은 기호 ∩으로 나타낸다. 정의는 다음과 같다.

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

예를 들어 A = {1, 3, 5, 7, 9}와 B = {4, 5, 6, 7}의 교집합은 A ∩ B = {5, 7}이다. 다른 예로 A = {a, b, c, d, e}와 B = {f, g, h, i, j}의 교집합은 A ∩ B = ∅이다. 두 집합에는 공통인 원소가 하나도 없으므로 교집합은 공집합이다.

그 밖의 성질은 다음과 같다.

• A ∩ A = A: 같은 두 집합의 교집합은 다시 그 집합이다.
• A ∩ B = B ∩ A: 교집합에서는 교환법칙이 성립한다. 순서는 상관없다.
• A ∩ ∅ = ∅: 공집합에는 원소가 하나도 없으므로 당연히 집합 A와 공통인 원소도 없다.

차집합

차집합은 보통의 빼기 기호 −로 나타내거나, 더 좋게는 비스듬한 빼기 기호 ∖로 나타낸다(한국의 교과서에서는 A − B로 쓴다). 두 집합 A와 B의 차집합은 A의 원소 가운데 B의 원소가 아닌 것을 모두 모은 집합이다. 간단히 말해, 첫 번째 집합에서 두 번째 집합과 공통인 원소를 찾아서 지우면 된다. 정의는 다음과 같다.

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

예를 들어 A = {1, 2, 3, 4, 5}와 B = {4, 5, 6, 7, 8}의 차집합은 A ∖ B = {1, 2, 3}이다. 집합 A에서 집합 B에 있는 원소를 모두 지우고 남은 원소들이다. 다른 예로 A = {a, b, d, e}이면 차집합 A ∖ A = ∅이다.

그 밖의 성질은 다음과 같다.

• A ∖ A = ∅: 같은 수끼리 빼면 0이 되는 것처럼(예를 들어 5 − 5 = 0), 같은 두 집합의 차집합은 공집합이다.
• A ∖ ∅ = A: 공집합에는 원소가 하나도 없으므로 집합 A에서 지울 원소가 없다.

여집합

집합 A의 여집합을 나타내는 방법은 여러 가지인데, 위에 줄을 그어 $\bar{A}$로 쓰기도 하지만 한국의 교과서에서는 A^C으로 쓰고, 이 글에서도 이 표기를 쓴다. 집합 A의 여집합을 구하려면 어떤 집합 안에서 여집합을 구하는지 알아야 한다. 여집합은 집합 A에 속하지 않는 원소를 모두 모은 것, 말하자면 집합 A의 반대이기 때문이다.

전체집합이 M = {1, 2, 3, …, 9, 10}이면, M에 대한 집합 A = {2, 4, 6, 8, 10}의 여집합은 A^C = {1, 3, 5, 7, 9}이다. 이 집합은 M의 원소 가운데 A에 속하지 않는 것을 모두 원소로 가진다. M에 대한 A^C은 M ∖ A와 같다고 말할 수 있다.

정수를 전체집합으로 잡으면 짝수의 집합의 여집합은 홀수의 집합이다. 집합 A = {1, 2, 3, 4}의 여집합은 A^C = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}이다.

여집합을 두 번 구하면 원래 집합으로 돌아온다. 정수에서 예를 들면, 짝수의 여집합은 홀수이다. 그리고 홀수의 여집합은 다시 짝수이다. 따라서 A = (A^C)^C(A의 여집합의 여집합)이 성립한다.