Elips

Elips ialah keratan kon. Sifat asas elips ialah setiap titik pada elips mempunyai hasil tambah jarak yang sama dari dua titik tertentu pada satah. Kedua-dua titik ini dipanggil fokus.

Rupa elips

Katakan dua titik diberi, iaitu E dan F, yang merupakan fokus bagi elips e. Maka, bagi setiap titik X pada elips e, hubungan berikut mesti benar:

$$|XE|+|XF|=K,$$

dengan K ialah suatu pemalar. Nombor ini sama bagi semua titik pada elips. Jika E = F, kita memperoleh bulatan, dan |XE|+|XF| sama dengan diameter bulatan (iaitu |XE| mesti jejari bulatan). Rajah elips:

Hasil tambah jarak yang sama dari fokus bermaksud bahawa hasil tambah |EK|+|FK| mesti sama dengan hasil tambah |EL|+|FL|, dan begitu juga bagi semua titik lain pada elips.

Ciri-ciri dan sifat elips

• Elips mempunyai dua fokus, kita namakan E dan F.
• Elips mempunyai dua bucu pada paksi major, A dan B, dan dua bucu pada paksi minor, C dan D.
• Pusat elips, iaitu titik S dalam rajah, terletak di titik tengah tembereng garis EF, iaitu di antara kedua-dua fokus.
• Garis lurus yang melalui bucu pada paksi major (dan juga melalui fokus) dipanggil paksi major elips, manakala garis lurus yang melalui bucu pada paksi minor dipanggil paksi minor elips.
• Tembereng garis yang menyambungkan mana-mana bucu pada paksi major dengan pusat elips dipanggil separuh paksi major. Dalam rajah, tembereng garis ini ialah AS dan BS.
• Tembereng garis yang menyambungkan mana-mana bucu pada paksi minor dengan pusat elips dipanggil separuh paksi minor. Dalam rajah, tembereng garis ini ialah CS dan DS.
• Pemalar K, iaitu hasil tambah jarak dari suatu titik pada elips ke kedua-dua fokus, sama dengan panjang tembereng garis AB. Hal ini mudah dilihat jika kita mengira hasil tambah bagi titik B. Bagi titik B, hasil tambahnya ialah |FB|+|EB|. Tembereng garis EB meliputi hampir seluruh tembereng garis AB, dan bahagian selebihnya, iaitu tembereng garis AE, sama panjang dengan tembereng garis FB. Oleh itu, |FB|+|EB| = |AB|.

Jarak fokus ke pusat

Satu lagi pemalar penting bagi elips ialah jarak fokus ke pusat, yang dalam artikel ini ditandakan dengan e. (Awas: dalam kebanyakan buku, nama kesipian atau eksentrisiti diberikan kepada nisbah jarak ini kepada separuh paksi major, iaitu e/a, bukan kepada jarak itu sendiri.) Jarak ini ialah jarak antara fokus dengan pusat elips, iaitu e = |ES| = |FS|. Bagaimanakah kita dapat mengiranya? Mula-mula, kita cari jarak |ED| dan |FD|.

Kita tahu bahawa hasil tambah K sama dengan panjang |AB|. Daripada rajah, jelas bahawa tembereng garis ED dan FD sama panjang kerana garis lurus CD ialah paksi simetri elips. Jadi, panjang setiap tembereng garis ialah separuh daripada panjang |AB|, iaitu panjang separuh paksi major elips. Jika kita tandakan panjang separuh paksi major dengan a dan panjang separuh paksi minor dengan b, kita memperoleh rajah berikut:

Kini kita boleh mengungkapkan jarak itu menggunakan teorem Pythagoras sebagai

$$e=\sqrt{a^2-b^2}$$

Semakin hampir elips menyerupai bulatan, iaitu semakin kurang leper elips itu, semakin kecil jarak ini.

Persamaan elips

Bagaimanakah kita memperoleh persamaan elips? Mula-mula, kita memerlukan elips yang mudah, jadi kita pilih elips yang paksi major dan paksi minornya selari dengan paksi-x dan paksi-y, dan pusatnya terletak di asalan, iaitu mempunyai koordinat (0, 0). Elips seperti ini kelihatan, misalnya, seperti berikut:

Persoalannya, bagaimanakah kita mengungkapkan secara am titik X yang ditandakan dengan warna biru dalam rajah? Mengikut takrif elips, hubungan berikut mesti benar:

$$|EX|+|FX|=|AB|$$

Oleh sebab panjang tembereng garis AB ialah dua kali panjang separuh paksi major a, kita boleh menulis:

$$|EX|+|FX|=2a$$

Seterusnya, kita perlu mengungkapkan panjang tembereng garis EX dan FX. Kita mulakan dengan tembereng garis FX. Lukis dua lagi tembereng garis dalam rajah supaya terbentuk segi tiga bersudut tegak.

Titik X mempunyai koordinat (x, y), jadi panjang tembereng garis PX sama dengan koordinat-y titik X, iaitu |PX| = y. Panjang PF ialah |e − x|. Mengikut teorem Pythagoras:

$$|FX|=\sqrt{|e-x{|}^2+y^2}=\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$$

Dengan cara yang sama seperti |FX|, kita ungkapkan |EX|. Panjang PX tetap sama, iaitu y, dan panjang PE ialah x + e. Kita memperoleh:

$$|EX|=\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$$

Kita gantikan ungkapan baharu ini ke dalam persamaan tadi:

$$\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}=2a$$

Selepas itu, banyak langkah pemudahan diperlukan sehingga akhirnya anda memperoleh bentuk yang kemas ini:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Namun, persamaan ini hanya bagi elips yang berpusat di asalan. Untuk memperoleh persamaan yang lebih am, kita perlu memasukkan koordinat pusat elips ke dalam persamaan. Elips yang berpusat di titik (m, n) mempunyai persamaan:

Jika paksi major selari dengan paksi-x:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}+\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

Jika paksi major selari dengan paksi-y:

$$\frac{(x-m{)}^2}{b^2}+\frac{(y-n{)}^2}{a^2}=1$$

Contoh: supaya anda yakin bahawa persamaan ini benar-benar berfungsi, mari kita gantikan titik X daripada rajah ke dalamnya. Bagi rajah itu, a = 5, b = 4 dan X(2.31; 3.55) (koordinat titik telah dibundarkan, jadi hasil akhirnya juga perlu dibundarkan). Dengan menggantikan nilai ini ke sebelah kiri persamaan, kita memperoleh:

$$\frac{{2.31}^2}{5^2}+\frac{{3.55}^2}{4^2}=\frac{5.3361}{25}+\frac{12.6025}{16}=0.213444+0.78765625\approx 1$$

Jadi, kita memperoleh kesamaan 1 = 1.

Kalkulator

Masukkan panjang separuh paksi major dan separuh paksi minor. Luas elips ialah π · a · b. Perimeter elips tidak dapat dikira dengan rumus yang tepat, jadi kalkulator ini menggunakan rumus anggaran Ramanujan, yang hanya berbeza sedikit daripada nilai sebenar.