Hubungan tinggi dan unjuran dalam segi tiga bersudut tegak

Ahli matematik Iskandariah zaman purba, Eukleides, merumuskan dua teorem tentang segi tiga, iaitu tentang tinggi segi tiga dan tentang sisi yang mengapit sudut tegak. Di Malaysia, kedua-dua hubungan ini tidak mempunyai nama khas.

Hubungan bagi tinggi kepada hipotenus

Hubungan ini hanya berlaku dalam segi tiga bersudut tegak. Mari kita lihat keadaan asasnya:

Kita mempunyai segi tiga ABC. Sisi c ialah hipotenus, dan tembereng garis t_c ialah tinggi kepada sisi c. Titik P_c membahagikan sisi c kepada dua tembereng garis: tembereng garis AP_c kita namakan c_b dan tembereng garis BP_c kita namakan c_a. Kedua-dua tembereng garis ini ialah unjuran dua sisi yang lain pada hipotenus.

Hubungan bagi tinggi (teorem Eukleides tentang tinggi) menyatakan bahawa

$$t_c^2=c_a\cdot c_b,$$

dengan t_c ialah panjang tembereng garis t_c, dan seterusnya. Dengan kata lain: kuasa dua tinggi kepada hipotenus sama dengan hasil darab dua unjuran pada hipotenus. Jika kita membina segi empat sama bersisi t_c dan segi empat tepat bersisi c_a dan c_b, kedua-dua bentuk ini mempunyai luas yang sama. Lihat rajah berikut, yang menunjukkan segi empat sama dan segi empat tepat itu:

Hubungan ini menyatakan bahawa kedua-dua bentuk itu mempunyai luas yang sama. Segi empat sama merah mempunyai sisi sepanjang t_c, manakala segi empat tepat hijau mempunyai satu sisi sepanjang c_a dan sisi yang satu lagi sepanjang c_b.

Bukti hubungan bagi tinggi boleh dibaca di Wikipedia.

Hubungan bagi sisi yang mengapit sudut tegak

Hubungan kedua ini juga berlaku dalam segi tiga bersudut tegak. Kita gunakan semula rajah segi tiga yang pertama:

Hubungan kedua (teorem Eukleides tentang sisi) menyatakan bahawa

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& c\cdot c_a\\ b^2& =& c\cdot c_b\end{array}$$

Maksudnya, kuasa dua sisi yang mengapit sudut tegak sama dengan hasil darab hipotenus dengan unjuran sisi itu pada hipotenus. Jika kita membina segi empat sama bersisi a, segi empat sama ini mempunyai luas yang sama dengan segi empat tepat bersisi c dan c_a. Sekali lagi, anda boleh melihat segi empat sama dan segi empat tepat itu:

Bukti hubungan ini juga boleh didapati di Wikipedia.