Hiperbola

Hiperbola ialah keratan kon. Bagi setiap titik pada hiperbola, nilai mutlak beza jaraknya dari dua titik tetap sentiasa sama. Sebagai catatan, dalam bahasa Melayu, hiperbola juga ialah nama gaya bahasa yang membesar-besarkan sesuatu.

Rupa hiperbola

Takrif tadi kedengaran agak menakutkan, jadi mula-mula lihat rajah hiperbola ini:

Perhatikan bahawa, tidak seperti keratan kon yang lain seperti elips atau parabola, hiperbola terdiri daripada dua lengkung. Apakah maksud takrif tadi? Kita diberi dua fokus, F₁ dan F₂. Bagi setiap titik X pada hiperbola, nilai mutlak beza |XF₁|−|XF₂| mesti sama.

Dalam rajah, terdapat dua titik, X₁ dan X₂. Bagi X₁, bezanya ialah |X₁F₁|−|X₁F₂| = 1 − 3 = −2, dan nilai mutlaknya ialah 2. Kita sepatutnya memperoleh nilai yang sama bagi X₂. Mari kita cuba: |X₂F₁|−|X₂F₂| = 3 − 5 = −2, dan nilai mutlaknya 2 (anda boleh mengira bahawa panjang sisi X₂F₂ ialah lima, misalnya dengan teorem Pythagoras).

Jika kita melakukan langkah ini bagi semua titik pada hiperbola, hasilnya sentiasa 2.

Ciri-ciri hiperbola

Lihat rajah hiperbola tadi dengan label tambahan:

• Titik F₁ dan F₂ dipanggil fokus.
• Titik S dipanggil pusat hiperbola dan terletak di titik tengah tembereng garis F₁F₂.
• Garis lurus F₁F₂ dipanggil paksi melintang hiperbola. Garis yang serenjang dengan paksi ini di titik S dipanggil paksi sekutu hiperbola.
• Titik persilangan hiperbola dengan paksi melintang dipanggil bucu hiperbola. Dalam rajah, bucu itu ialah titik A dan B.
• Setiap tembereng garis AS dan BS dipanggil separuh paksi melintang hiperbola. Panjangnya ditandakan dengan a.
• Panjang separuh paksi sekutu hiperbola ditandakan dengan b.
• Jarak fokus ke pusat ditandakan dengan e (awas: dalam kebanyakan buku, nama kesipian atau eksentrisiti diberikan kepada nisbah e/a, bukan kepada jarak ini). Hubungannya ialah:

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

Untuk melihat dengan lebih jelas asal panjang separuh paksi sekutu b, lihat satu lagi rajah:

Hiperbola ini sama, tetapi kini terdapat asimptot, iaitu dua garis lurus ungu yang bersilang, a₁, a₂, yang melalui pusat S. Separuh paksi melintang a tidak berubah, iaitu tembereng garis AS. Sekarang kita tandakan titik D pada asimptot supaya jarak |SD| sama dengan jarak fokus ke pusat, e. Panjang tembereng garis AD ialah panjang separuh paksi sekutu hiperbola. Seperti yang ditunjukkan dalam rajah, terbentuk sebuah segi tiga bersudut tegak, jadi kita boleh menggunakan teorem Pythagoras dan memperoleh hubungan

$$e=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Bulatan dalam rajah berpusat di titik S dan hanya menunjukkan bahawa panjang |F₁S| (jarak fokus ke pusat) sama dengan panjang |SD|.

Persamaan hiperbola

Bagi hiperbola, terdapat dua kes yang berbeza, bergantung pada sama ada paksi melintang hiperbola selari dengan paksi-x atau dengan paksi-y. Katakan pusat hiperbola S mempunyai koordinat (m, n).

• Paksi melintang selari dengan paksi-x:

Persamaan:

$$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$$

• Paksi melintang selari dengan paksi-y:

Persamaan:

$$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$$