Kamiran

Proses pengamiran fungsi ialah songsangan bagi proses pembezaan fungsi.

Antiterbitan

Kita mulakan dengan masalah yang mudah. Katakan kita mempunyai fungsi f(x) = 2x. Sekarang kita cari fungsi F yang, selepas dibezakan, sama dengan fungsi f. Secara formal, kita mencari fungsi F dengan keadaan F′ = f.

Daripada rumus asas terbitan, kita tahu bahawa fungsi itu ialah F(x) = x². Terbitan fungsi x² sama dengan 2x. Persoalannya, adakah fungsi ini satu-satunya fungsi yang memenuhi syarat itu?

Jawapannya tidak. Jika kita menambahkan sebarang pemalar nyata kepada fungsi x², selepas pembezaan kita tetap memperoleh fungsi 2x, kerana terbitan pemalar ialah sifar. Sebarang fungsi dalam bentuk x² + c, dengan c ialah pemalar nyata, boleh dianggap sebagai fungsi F yang kita cari.

Masalah ini boleh diitlakkan. Diberi fungsi nyata f, cari fungsi F dengan keadaan F′(x) = f(x) bagi semua x dalam D_f, atau dalam suatu selang di dalam domain. Fungsi ini tidak semestinya unik, tetapi fungsi seperti ini juga mungkin tidak wujud langsung.

Fungsi F ini dipanggil antiterbitan bagi fungsi f. Kita tulis:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Fungsi f dipanggil fungsi yang dikamirkan (integrand), dan proses mencari antiterbitan dipanggil pengamiran. Ungkapan dx menunjukkan pemboleh ubah yang terhadapnya kita mengamirkan. Jika kita menulis contoh seperti ini

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

kita mahu mencari antiterbitan bagi fungsi 4x³, dan kita mengamirkan terhadap pemboleh ubah x. Hasilnya boleh jadi fungsi x⁴, yang selepas dibezakan sama dengan 4x³. Sudah tentu kita boleh menambahkan sebarang pemalar nyata kepada fungsi ini.

Dapat dibuktikan bahawa antiterbitan sama ada tidak wujud, atau sentiasa berbentuk F(x) + c, dengan c ialah suatu pemalar nyata. Dalam kes kedua, terdapat tak terhingga banyaknya antiterbitan, kerana terdapat tak terhingga banyaknya pemalar nyata. Jadi, jika kita menemukan fungsi F(x), kita dapat menjana semua antiterbitan. Pada masa yang sama, tiada fungsi lain, yang tidak dijana dengan cara ini, yang merupakan antiterbitan bagi fungsi yang kita kaji.

Sedikit lagi tentang ungkapan dx. Ungkapan ini kelihatan sangat misteri, tetapi sebenarnya hanya menunjukkan pemboleh ubah yang terhadapnya kita mengamirkan. Contohnya, jika kita mempunyai kamiran

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

maksudnya kita mengamirkan terhadap pemboleh ubah b, dan huruf-huruf lain, a dan c, berkelakuan sebagai pemalar. Maksudnya, huruf-huruf itu berkelakuan seolah-olah nombor.

Pengamiran fungsi asas

Kita mudah memperoleh rumus antiterbitan bagi beberapa fungsi asas. Sepanjang bahagian ini, kita andaikan c ∈ ℝ.

Kita mulakan dengan fungsi f(x) = 0, iaitu fungsi sifar. Fungsi apakah yang, selepas dibezakan, sama dengan sifar? Sebarang fungsi yang hanya terdiri daripada pemalar:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Seterusnya, fungsi f(x) = 1. Kita tahu bahawa x′ = 1, jadi kamiran bagi satu ialah

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

Yang berikutnya ialah fungsi f(x) = x. Fungsi apakah yang perlu kita bezakan untuk memperoleh x? Jika kita membezakan x², kita memperoleh 2x. Itu sudah hampir dengan apa yang kita mahukan; kita hanya perlu membahagi dengan dua. Jadi, jika kita membezakan (x²)/2, kita memperoleh x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Jika kita mengitlakkan hal ini kepada fungsi xⁿ, dengan n ∈ ℝ, kita memperoleh rumus:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Perhatikan bahawa rumus ini tidak berlaku bagi n = −1, kerana kita akan membahagi dengan sifar, dan itu tidak dibenarkan. Jadi, jika n = −1, kita memperoleh fungsi f(x) = x⁻¹, iaitu fungsi 1/x. Fungsi apakah yang perlu kita bezakan untuk memperoleh 1/x? Logaritma.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

Masalahnya, logaritma hanya tertakrif bagi nombor nyata positif, jadi rumus ini tidak berlaku bagi semua x dalam D_f. Namun, rumus ini berlaku pada selang (0, ∞). Bagi selang (−∞, 0), kita hanya menukar tanda objek logaritma: ln(−x). Jika kita menggabungkan kedua-duanya, kita boleh menulis

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Rumus ini berlaku bagi semua x ∈ D_f. Kamiran lain, misalnya bagi fungsi trigonometri, terdapat dalam jadual berikut:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{bagi }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\mathrm{kos}x+c\\ \int \mathrm{kos}x\text{ d}x& =& \sin x+c\end{array}$$

Kamiran hasil tambah

Menghitung terbitan suatu fungsi biasanya agak mudah dan boleh dilakukan secara mekanikal, kerana kita biasanya hanya mengikut rumus. Bagi kamiran, keadaannya berbeza. Kaedah menghitung kamiran lebih rumit, sehingga mencari kamiran jauh lebih sukar daripada menghitung terbitan. Hal ini terutamanya kerana kita memang mempunyai rumus yang dijangkakan bagi kamiran hasil tambah, tetapi tiada rumus seperti itu bagi hasil darab.

Mari kita cuba menghitung kamiran ini:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Bagaimanakah kita menghitungnya? Kita memerlukan fungsi yang, selepas dibezakan, memberikan x, dan fungsi lain yang memberikan 1. Daripada rumus, kita sudah tahu bahawa fungsi-fungsi itu ialah (x²)/2 dan x. Jika kita menambahkan kedua-dua fungsi ini, kita memperoleh f(x) = (x²)/2 + x. Selepas membezakan fungsi ini, kita memperoleh x + 1. Maka, kita memperoleh jawapannya:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

Semasa pengiraan, kita menggunakan satu sifat: kamiran hasil tambah sama dengan hasil tambah kamiran. Dengan kata lain,

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Sifat ini juga berlaku bagi penolakan:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Oleh itu, kita boleh menulis contoh tadi seperti berikut:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Mengeluarkan pemalar dari kamiran

Sifat yang serupa berlaku apabila kita mengeluarkan pemalar dari kamiran. Jika kita mempunyai kamiran dalam bentuk:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

dengan a ialah suatu pemalar nyata, kita boleh mengeluarkan pemalar ini ke hadapan kamiran:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Contoh

Hitung kamiran:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

Pada langkah pertama, kita pecahkan kamiran ini kepada tiga kamiran:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Kita selesaikan kamiran-kamiran ini satu demi satu. Kamiran pertama boleh diselesaikan terus menggunakan rumus bagi kuasa xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

Dalam kamiran kedua, kita keluarkan dahulu enam:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Kamiran bagi x terdapat dalam jadual, iaitu (x²)/2. Jadi, kita peroleh:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

Dalam kamiran terakhir, kita juga keluarkan dahulu 42:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Kamiran ini juga terdapat dalam jadual:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Kita tambahkan kamiran-kamiran separa ini dan memperoleh jawapannya:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Satu catatan lagi: dalam setiap kamiran separa, kita memperoleh pemalar c, jadi apabila menambahkannya, kita sepatutnya menulis +3c dan bukan +c dalam jawapan. Namun, c ialah sebarang pemalar nyata, jadi 3c juga sama dengan suatu nombor nyata. Kita boleh menggantikan c dalam kamiran-kamiran separa dengan c₁, c₂, c₃, kemudian mengatakan bahawa c = c₁ + c₂ + c₃.