Kalkulator kebarangkalian sesuatu berlaku sekurang-kurangnya sekali

Bayangkan anda menaiki bas tanpa tiket dan dalam setiap perjalanan, kebarangkalian pemeriksa tiket memeriksa anda ialah 5%. Dalam satu perjalanan, anda hampir pasti terlepas. Akan tetapi, dalam sebulan anda membuat dua puluh perjalanan. Berapakah kebarangkalian anda ditangkap sekurang-kurangnya sekali? Peratusan itu tidak boleh dijumlahkan begitu sahaja: bagi dua puluh perjalanan, kita akan memperoleh 100%, malah bagi tiga puluh perjalanan, 150%. Pengiraannya menggunakan peristiwa pelengkap: kita mengira kebarangkalian pemeriksa tiket tidak datang walaupun sekali, kemudian menolaknya daripada satu.

Percubaan-percubaan itu mesti tak bersandar dan sentiasa mempunyai kebarangkalian p yang sama.

Berapa banyak percubaan yang anda perlukan?

Soalan ini boleh diterbalikkan: berapa kali anda perlu menaiki bas tanpa tiket supaya pemeriksa tiket hampir pasti menangkap anda, katakan dengan kebarangkalian 90%?

Cara mengiranya

Kebarangkalian suatu peristiwa berlaku sekurang-kurangnya sekali dalam n percubaan ialah

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Bagi bilangan percubaan, kita mencari n terkecil yang memenuhi 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, dengan c ialah kebarangkalian yang dikehendaki. Kita mengambil logaritma bagi kedua-dua belah ketaksamaan dan memperoleh

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Jawapannya dibundarkan ke atas kerana bilangan percubaan mesti integer.

Dalam satu perjalanan, pemeriksa tiket tidak datang dengan kebarangkalian 1 − 0.05 = 0.95. Perjalanan-perjalanan itu tak bersandar, jadi bagi dua puluh perjalanan tanpa pemeriksaan, kita mendarabkan kebarangkaliannya:

$${0.95}^{20}\approx 0.3585$$

Tolak hasil ini daripada satu:

$$P=1-0.3585=0.6415$$

Dalam dua puluh perjalanan, kebarangkalian pemeriksa tiket menangkap anda sekurang-kurangnya sekali ialah kira-kira 64.15%. Berapa banyak perjalanan pula yang cukup untuk 90%? Gantikan nilainya:

$$n\ge \frac{\ln (1-0.9)}{\ln (1-0.05)}=\frac{\ln 0.1}{\ln 0.95}\approx 44.89$$

Bundarkan ke atas kepada 45 perjalanan. Dengan bilangan itu, kebarangkalian anda ditangkap ialah kira-kira 90.06%. Membeli tiket lebih murah.