Kalkulator paradoks hari jadi

Dalam sebuah kelas terdapat 23 orang murid. Berapakah kebarangkalian sekurang-kurangnya dua orang daripada mereka menyambut hari jadi pada hari yang sama? Kebanyakan orang meneka beberapa peratus sahaja, tetapi sebenarnya kebarangkaliannya melebihi separuh. Fenomena ini dipanggil paradoks hari jadi. Sebenarnya hal ini bukanlah paradoks, cuma gerak hati kita yang tersilap: kita tidak membandingkan seorang dengan semua yang lain, tetapi setiap orang dengan setiap orang yang lain, dan dalam kelas itu terdapat 253 pasangan.

Kalkulator ini menganggap setahun mempunyai 365 hari dan bilangan kelahiran pada setiap hari sama banyak.

Cara mengiranya

Kalkulator ini mengira menggunakan rumus

$$P=1-\frac{365\cdot 364\cdot \dots \cdot (365-n+1)}{{365}^n}$$

dengan n ialah bilangan orang.

Pengiraan secara langsung sukar kerana hari jadi boleh sama bagi dua orang, tiga orang, dua pasangan yang berlainan dan sebagainya. Oleh itu, kita mengira peristiwa pelengkap, iaitu semua orang mempunyai hari jadi pada hari yang berlainan. Orang pertama boleh lahir pada bila-bila hari, orang kedua mesti lahir pada salah satu daripada 364 hari yang tinggal, orang ketiga pada salah satu daripada 363 hari dan orang ke-23 pada salah satu daripada 343 hari:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx 0.4927$$

Tolak hasil ini daripada satu:

$$P=1-0.4927=0.5073$$

Dalam kumpulan 23 orang, kebarangkalian sekurang-kurangnya dua orang mempunyai hari jadi yang sama ialah kira-kira 50.73%. Soalan yang sama sekali berbeza ialah sama ada seseorang menyambut hari jadi yang sama dengan anda. Setiap seorang daripada 22 orang yang lain mempunyai hari jadi pada hari yang berlainan daripada anda dengan kebarangkalian $\frac{364}{365}$, jadi kebarangkaliannya hanya $1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^{22}\approx 5.86\mathrm{\%}$.