Fungsi logaritma

Fungsi logaritma ialah fungsi songsang bagi fungsi eksponen.

Pengertian logaritma

Fungsi logaritma ditulis dengan simbol log. Bagi logaritma jati (lihat di bawah), simbolnya ialah ln. Bentuk am fungsi logaritma ialah:

$$y={\log }_{a}x$$

Tatatanda ini dibaca “logaritma x kepada asas a”. Fungsi logaritma ini ialah songsangan bagi fungsi eksponen f(x) = a^x. Nilai fungsi logaritma dipanggil logaritma.

Oleh sebab fungsi logaritma ialah songsangan fungsi eksponen, kesetaraan berikut mesti benar:

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Maksudnya, jika a^y sama dengan x, maka logaritma x kepada asas a ialah y. Mari kita lihat satu contoh. Katakan kita mempunyai fungsi eksponen f(x) = 2^x. Apakah fungsi songsangnya? Fungsi songsangnya ialah fungsi logaritma f⁻¹(x) = log₂x. Jika kita menggantikan 3 ke dalam fungsi eksponen, kita memperoleh f(3) = 2³ = 8.

Apakah hubungan yang mesti berlaku sekarang? Jika kita memasukkan 8 ke dalam fungsi songsang f⁻¹, fungsi logaritma itu mesti memberikan 3. Hal ini kerana 3 ialah input fungsi eksponen, manakala 8 ialah outputnya. Fungsi songsang bertindak secara terbalik: inputnya 8 dan outputnya 3. Buat masa ini, anda boleh menyemak perkara ini, misalnya menggunakan Google.

Ringkasnya, jika kita menulis 2³ = 8, fungsi songsang logaritma memberikan hubungan log₂8 = 3. Jadi, apakah logaritma? Logaritma ialah indeks: asas perlu dinaikkan kepada kuasa ini untuk memperoleh nombor x.

Fungsi logaritma yang penting

Sesetengah fungsi logaritma sangat penting. Yang pertama ialah “logaritma jati”, yang asasnya ialah nombor Euler. Nombor ini diwakili oleh huruf e dan merupakan nombor bukan nisbah, iaitu nombor yang perwakilan perpuluhannya tidak terhingga dan tidak berulang. Nilai hampirannya ialah e = 2.718 281 828…. Logaritma jati ditulis sama ada sebagai log_ex atau, dengan lebih ringkas, ln x. Huruf “n” itu berasal daripada istilah Latin “logarithmus naturalis”. Untuk mengingatnya, cukup ingat istilah bahasa Inggerisnya yang hampir sama, iaitu “natural logarithm”.

Satu lagi logaritma yang penting ialah “logaritma biasa”, iaitu fungsi logaritma dengan asas sepuluh. Logaritma biasa lazimnya ditulis sebagai log₁₀x atau hanya log x. Jika asas logaritma tidak dinyatakan, asasnya dianggap 10.

Sifat fungsi logaritma

Seperti yang kita ketahui, fungsi logaritma ialah songsangan fungsi eksponen. Oleh itu, fungsi logaritma juga mewarisi beberapa sifat dan syarat fungsi eksponen. Fungsi eksponen berbentuk f(x) = a^x, dengan a ialah nombor nyata yang lebih besar daripada sifar dan tidak sama dengan satu. Oleh itu, asas logaritma a juga mesti lebih besar daripada sifar dan tidak sama dengan satu. Sekali lagi, fungsi logaritma ditulis seperti berikut:

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Oleh sebab fungsi ini ialah fungsi songsang, kita sudah mengetahui domain dan julatnya. Domain fungsi logaritma sama dengan julat fungsi eksponen, iaitu (0, ∞). Julat fungsi logaritma pula sama dengan domain fungsi eksponen, iaitu set semua nombor nyata.

Graf fungsi logaritma

Seperti fungsi eksponen, terdapat dua kes yang perlu dibezakan: asas a terletak dalam selang (0, 1) atau dalam selang (1, ∞). Dalam kes pertama, iaitu apabila a terletak dalam selang (0, 1), grafnya kelihatan seperti berikut:

Jika asas a terletak dalam selang (1, ∞), grafnya kelihatan seperti berikut:

Perhatikan juga graf fungsi eksponen dan graf fungsi logaritma yang merupakan songsangannya pada satah yang sama (lengkung biru ialah logaritma, lengkung merah ialah fungsi eksponen):

Sebab graf melalui titik (1, 0)

Kedua-dua graf menyilang paksi-x pada x = 1. Hal ini wajar kerana setiap fungsi eksponen melalui titik (0, 1). Oleh sebab logaritma ialah fungsi songsang, fungsi ini mesti sentiasa melalui titik (1, 0). Hal ini mudah difahami. Jika graf melalui titik (1, 0), maksudnya bagi input x = 1, outputnya ialah f(x) = 0.

Bagi logaritma, kita mencari indeks yang menghasilkan satu apabila asas dinaikkan kepada kuasa itu. Apakah indeks tersebut? Hanya sifar. Sebarang nombor kuasa sifar ialah satu. Oleh itu, walau apa pun asasnya, fungsi logaritma sentiasa melalui titik (1, 0). (Catatan: jangan lupa bahawa asas tidak boleh mengambil sebarang nilai: a>0 dan a ≠ 1.)

Hukum logaritma (rumus)

Berikut ialah beberapa hubungan dan rumus penting bagi logaritma.

Andaikan a memang asas logaritma, iaitu a>0, a ≠ 1. Katakan juga x₁ dan x₂ ialah sebarang nombor nyata positif. Maka:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Beberapa hubungan yang terhasil terus daripada takrif logaritma:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Penukaran asas menggunakan logaritma jati

Kadangkala, misalnya pada kalkulator, tiada logaritma dengan sebarang asas, hanya logaritma jati dan logaritma biasa. Apakah yang perlu dilakukan jika anda perlu mengira logaritma dengan asas lain? Terdapat rumus yang boleh membantu:

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Jika kita memilih nombor Euler sebagai b, kita memperoleh rumus:

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

Dalam bahagian pertama, kita perlu mengira logaritma 8 kepada asas 2. Dengan logaritma jati, pengiraannya adalah seperti berikut:

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Pengiraan ini juga boleh disemak menggunakan Google. Anda tidak semestinya menggunakan logaritma jati. Logaritma biasa juga boleh digunakan kerana rumus ini membenarkannya. Jadi, hubungan berikut juga benar:

$${\log }_{2}8=\frac{\log 8}{\log 2}=3$$

(Jangan lupa bahawa jika asas tidak dinyatakan, asasnya dianggap a = 10.) Sekali lagi, semak menggunakan Google.

Kalkulator

Jika anda perlu mengira logaritma, anda boleh menggunakan kalkulator logaritma 🧮 di laman ini.