Pendaraban nombor negatif

Nombor negatif boleh menjadi agak sukar difahami secara intuitif, terutamanya apabila tiba masanya untuk mendarabnya.

Cara membayangkan nombor negatif

Dalam kehidupan seharian, kita jarang bertemu nombor negatif. Tidak ramai orang yang akan berkata “Nek, tengok, di atas bukit sana ada negatif lapan ekor lembu!” Oleh itu, pendaraban nombor negatif lebih sukar diterangkan.

Namun, ada sekurang-kurangnya satu keadaan yang menjadikan nombor negatif jelas kepada semua orang, iaitu belanjawan isi rumah dengan pendapatan dan perbelanjaannya. Jika anda menyemak akaun bank anda, misalnya, anda akan melihat butiran seperti ini:

• +RM3 500: gaji bulanan
• −RM250: belian barang dapur di pasar raya
• −RM98: gula-gula getah untuk setahun
• +RM300: bantuan kerajaan untuk mood yang baik
• −RM1 200: sewa rumah

Jika anda menerima wang, jumlahnya bertanda tambah. Jika anda membelanjakan wang, jumlahnya bertanda tolak kerana wang yang dibelanjakan itu ditolak daripada baki akaun anda.

Jadi, nombor negatif boleh dibayangkan sebagai perbelanjaan. Jika wang kita bertambah seribu ringgit, kita tulis +1000. Jika kita membelanjakan lima ribu, kita tulis −5000. Hal ini tidak terhad kepada wang. Jika kita mengambil enam bungkus gula-gula getah daripada bakul, kita boleh menulisnya sebagai −6.

Pendaraban nombor negatif dengan nombor positif

Apakah hasil darab 7 · (−2)? Sebenarnya, persoalannya ialah tanda yang dimiliki oleh hasil itu. Jelas bahawa hasilnya sama ada 14 atau −14. Bagaimanakah kita menentukan jawapan yang betul?

Bayangkan sebungkus gula-gula getah berharga 2 ringgit dan kita membeli 7 bungkus. Sekarang kita bertanya, berapakah jumlah wang yang kita belanjakan untuk tujuh bungkus gula-gula getah itu. Jawapannya jelas: kita membelanjakan 7 · 2 = 14 ringgit.

Namun, wang ini benar-benar dibelanjakan, bukan diterima. Oleh itu, kita tambahkan tanda tolak. Jika hasilnya dibiarkan sebagai 14, maksudnya wang itu pendapatan kita, sedangkan wang itu ialah perbelanjaan. Oleh sebab itu, hasilnya ialah 7 · (−2) = −14.

Kita juga boleh menukarkannya kepada penambahan. Bayangkan kita hanya membeli dua bungkus gula-gula getah. Setiap bungkus berharga dua ringgit, jadi dalam rekod akaun kita terdapat:

• −RM2: gula-gula getah
• −RM2: gula-gula getah

Hal ini boleh ditulis semula sebagai 2 · (−2), atau kita boleh menambah perbelanjaan itu: −2 + (−2) = −2 − 2 = −4. Kemudian kita boleh menulisnya dengan ringkas:

• −RM4: dua bungkus gula-gula getah

Apabila kita mendarab nombor positif dengan nombor negatif (atau nombor negatif dengan nombor positif, sama sahaja), kita boleh membayangkan bahawa bahagian negatif mewakili satu perbelanjaan, manakala nombor positif mewakili bilangan perbelanjaan itu. Oleh sebab kita menambah perbelanjaan, hasilnya juga mesti negatif.

Penjelasan secara algebra

Hasil darab nombor positif dengan nombor negatif ialah nombor negatif. Hal ini juga boleh dijelaskan secara algebra. Cuba hitung contoh ini: 5 · (4 − 4). Jelas bahawa hasilnya sifar kerana 4 − 4 = 0 dan 5 · 0 = 0. Walau bagaimanapun, jika kita tahu tentang pemfaktoran dan cara mengembangkan kurungan, contoh tadi boleh juga ditulis seperti ini:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Kita telah menulis ungkapan itu semula dalam bentuk lain yang setara. Sebelah kiri persamaan masih mesti sama dengan sifar kerana ungkapan asal 5 · (4 − 4) juga sama dengan sifar. Sekarang kita darab 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Kini tinggal ungkapan 5 · (−4). Supaya persamaan itu kekal benar, ungkapan ini mesti sama dengan apa? Nombor apakah yang perlu ditambah kepada 20 untuk mendapat sifar? Nombor itu ialah −20. Maka, satu-satunya nilai yang mungkin bagi ungkapan 5 · (−4) ialah −20. Sekali lagi kita lihat bahawa hasil darab nombor positif dengan nombor negatif ialah nombor negatif.

Hasil darab dua nombor negatif

Hasil darab dua nombor negatif ialah nombor positif. Pada pandangan pertama, hal ini mungkin kelihatan pelik, tetapi sebenarnya mudah difahami. Hal yang sama berlaku dalam bahasa apabila kita menggunakan penafian berganda. Ayat “kami tidak akan bersikap tidak sopan” mengandungi dua penafian, tetapi maksudnya sama dengan “kami akan bersikap sopan”. (Di sini kita menganggap bahawa seseorang hanya boleh bersikap sopan atau tidak sopan. Secara teori, seseorang mungkin tidak tergolong dalam kedua-duanya.)

Penjelasan yang mudah terdapat dalam bahagian seterusnya, iaitu pergerakan lelaki yang membawa beg bimbit. Sebelum itu, berikut ialah jadual ringkas hubungan antara nombor positif dengan nombor negatif dalam pendaraban:

$$\begin{array}{rcl}\text{positif}\cdot \text{positif}& =& \text{positif}\\ \text{positif}\cdot \text{negatif}& =& \text{negatif}\\ \text{negatif}\cdot \text{positif}& =& \text{negatif}\\ \text{negatif}\cdot \text{negatif}& =& \text{positif}\end{array}$$

Penjelasan melalui pergerakan

Pendaraban dengan faktor negatif boleh diterangkan dengan baik melalui pergerakan. Bayangkan kita berdiri di asalan garis nombor, lebih kurang seperti ini:

Seterusnya, ambil hasil darab dua nombor, misalnya 2 · 3. Kita akan menunjukkan hasil darab ini pada garis nombor sebagai pergerakan lelaki yang membawa beg bimbit itu. Nombor pertama mewakili panjang langkah, manakala nombor kedua mewakili bilangan langkah yang diambil oleh lelaki itu. Jadi, kita boleh melihatnya sebagai hasil darab panjang langkah · bilangan langkah.

Kita juga akan mengambil kira nombor negatif. Jika panjang langkah positif, lelaki itu berjalan ke hadapan seperti biasa. Jika panjang langkah negatif, dia berjalan mengundur. Jika bilangan langkah positif, lelaki itu menghadap ke kanan (seperti dalam rajah di atas). Jika bilangan langkah negatif, dia menghadap ke kiri.

Nombor tempat lelaki itu berhenti ialah hasil darab kedua-dua nombor tersebut. Mari kita lihat hasilnya bagi semua gabungan nombor positif dan nombor negatif.

Bagi hasil darab 2 · 3, lelaki itu menghadap ke kanan dan berjalan ke hadapan. Dia mengambil tiga langkah ke hadapan, setiap langkah sepanjang dua petak.

Lelaki yang membawa beg bimbit itu berhenti pada nombor 6. Maka, hasilnya ialah 2 · 3 = 6.

Sekarang kita cuba hasil darab −2 · 3. Nombor pertama negatif, maksudnya lelaki itu kini berjalan mengundur. Nombor kedua pula positif, jadi dia menghadap ke kanan. Jadi, lelaki itu menghadap ke kanan dan mengambil tiga langkah mengundur:

Kita lihat bahawa lelaki itu berhenti pada nombor −6. Hal ini sepadan dengan −2 · 3 = −6.

Seterusnya, kita cuba 2 · (−3). Nombor pertama positif, jadi lelaki itu berjalan ke hadapan. Namun, nombor kedua negatif, jadi dia menghadap ke kiri. Lelaki itu menghadap ke kiri dan mengambil tiga langkah ke hadapan:

Lelaki itu sekali lagi tiba di nombor −6. Hal ini sepadan dengan 2 · (−3) = −6. Jelaslah bahawa tidak kira sama ada lelaki itu menghadap ke kiri dan berjalan ke hadapan, atau menghadap ke kanan dan berjalan mengundur. Dalam kedua-dua keadaan, dia akan tiba di kawasan nombor negatif.

Akhir sekali, kita minta lelaki itu mengira −2 · (−3). Jadi, kita pusingkan dia supaya menghadap ke kiri dan biarkan dia mengambil tiga langkah mengundur:

Mungkin agak mengejutkan, tetapi lelaki itu berhenti pada nombor 6. Maka, kita boleh mengatakan bahawa −2 · (−3) = 6. Hasil darab dua nombor negatif ialah nombor positif.