Nhân các số âm

Số âm có thể hơi khó hình dung, nhất là khi phải nhân chúng với nhau.

Hình dung số âm như thế nào

Trong đời sống hằng ngày ta không thường gặp số âm. Chắc chẳng ai nói “bà ơi, nhìn kìa, trên đồi có âm tám con bò!” Vì thế phép nhân các số âm lại càng khó giải thích.

Tuy vậy, có ít nhất một trường hợp mà ai cũng hiểu số âm: chi tiêu trong gia đình, với các khoản thu và khoản chi. Chẳng hạn khi xem tài khoản ngân hàng, bạn sẽ thấy những dòng như:

• +15.000.000 đồng: lương tháng
• −1.753.000 đồng: mua sắm ở siêu thị
• −980.000 đồng: mua kẹo cao su cho cả năm
• +2.500.000 đồng: trợ cấp “vui vẻ” của nhà nước
• −8.000.000 đồng: tiền thuê nhà

Khoản tiền nhận được có dấu cộng, khoản tiền tiêu đi có dấu trừ, vì số tiền đã tiêu bị trừ khỏi số dư tài khoản.

Như vậy, có thể hình dung số âm như một khoản chi. Nếu có thêm một triệu đồng, ta viết +1.000.000; nếu tiêu năm triệu, ta viết −5.000.000. Không nhất thiết phải là tiền: nếu lấy từ giỏ ra sáu cái kẹo cao su, có thể ghi là −6.

Nhân số âm với số dương

Vậy tích 7 · (−20) bằng bao nhiêu? Thực chất câu hỏi là kết quả mang dấu gì. Rõ ràng kết quả hoặc là 140, hoặc là −140. Làm sao lí giải được đáp án đúng?

Giả sử một gói kẹo cao su giá 20 nghìn đồng và ta mua 7 gói. Hỏi tổng cộng ta đã tiêu bao nhiêu tiền cho bảy gói kẹo này? Rõ ràng là 7 · 20 = 140 nghìn đồng.

Nhưng đây là tiền ta đã tiêu chứ không phải tiền nhận được, nên ta thêm dấu trừ. Nếu để kết quả là 140 thì nghĩa là khoản thu, nhưng thực ra đó là khoản chi: vì vậy kết quả là 7 · (−20) = −140.

Ta cũng có thể đưa về phép cộng: giả sử chỉ mua hai gói kẹo. Mỗi gói giá hai mươi nghìn đồng, nên trong sổ chi tiêu sẽ có

• −20 nghìn đồng: kẹo cao su
• −20 nghìn đồng: kẹo cao su

Có thể viết lại thành 2 · (−20), hoặc cộng các khoản chi: −20 + (−20) = −20 − 20 = −40. Khi đó chỉ cần ghi:

• −40 nghìn đồng: hai gói kẹo cao su

Khi nhân một số dương với một số âm (hay số âm với số dương, như nhau cả), có thể hình dung phần âm là một khoản chi, còn số dương là số lần chi khoản đó. Vì ta cộng các khoản chi nên kết quả cũng phải là số âm.

Lập luận đại số

Việc tích của một số dương và một số âm là số âm cũng có thể lí giải bằng đại số. Thử tính biểu thức: 5 · (4 − 4). Rõ ràng kết quả bằng không, vì 4 − 4 = 0 và 5 · 0 = 0. Tuy nhiên nếu biết đặt nhân tử chung và phá ngoặc, ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Ta đã viết biểu thức thành một biểu thức khác nhưng tương đương. Vế trái của đẳng thức vẫn phải bằng không, vì biểu thức ban đầu 5 · (4 − 4) bằng không. Bây giờ tính 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Chỉ còn lại biểu thức 5 · (−4). Để đẳng thức vẫn đúng, biểu thức này phải bằng bao nhiêu? Phải cộng số nào vào 20 để được không? Đó là số −20. Vậy kết quả duy nhất có thể của 5 · (−4) là −20. Một lần nữa ta thấy tích của một số dương và một số âm là số âm.

Tích của hai số âm

Tích của hai số âm là một số dương. Thoạt nhìn có vẻ lạ, nhưng điều này khá dễ hiểu. Trong lời nói cũng vậy, khi dùng phủ định kép: câu “chúng tôi sẽ không bất lịch sự” có hai lần phủ định, nhưng có nghĩa như câu “chúng tôi sẽ lịch sự”. (Ở đây ta giả sử rằng chỉ có thể lịch sự hoặc bất lịch sự. Về lí thuyết, có thể chẳng phải cái nào cả.)

Một cách giải thích dễ hiểu có ở phần tiếp theo, với chuyển động của người đàn ông xách cặp. Còn bây giờ là bảng tóm tắt quy tắc dấu của phép nhân các số dương và số âm:

$$\begin{array}{rcl}\text{dương}\cdot \text{dương}& =& \text{dương}\\ \text{dương}\cdot \text{âm}& =& \text{âm}\\ \text{âm}\cdot \text{dương}& =& \text{âm}\\ \text{âm}\cdot \text{âm}& =& \text{dương}\end{array}$$

Giải thích bằng chuyển động

Phép nhân với các thừa số âm có thể giải thích rất trực quan bằng chuyển động. Hãy tưởng tượng ta đứng ở gốc của trục số, đại khái như sau:

Xét tích của hai số, chẳng hạn 2 · 3. Ta sẽ biểu diễn tích này trên trục số bằng chuyển động của người đàn ông xách cặp. Số thứ nhất là độ dài mỗi bước, số thứ hai là số bước người đó đi, nên có thể xem đó là tích độ dài bước · số bước.

Ta cũng tính đến cả số âm. Nếu độ dài bước là số dương, người đó đi tiến bình thường; nếu độ dài bước là số âm, người đó đi lùi. Nếu số bước là số dương, người đó quay mặt sang phải (như trong hình trên); nếu là số âm, người đó quay mặt sang trái.

Người xách cặp dừng lại ở số nào thì đó là tích của hai số đã cho. Hãy xem điều gì xảy ra với mọi trường hợp kết hợp số dương và số âm.

Với tích 2 · 3, người đó quay mặt sang phải và đi tiến. Người đó đi tiến ba bước, mỗi bước dài hai ô.

Người xách cặp dừng ở số 6, vậy kết quả là 2 · 3 = 6.

Bây giờ thử tích −2 · 3. Số thứ nhất âm, nghĩa là lần này người đó đi lùi. Nhưng số thứ hai dương, nên người đó nhìn sang phải. Vậy người đó nhìn sang phải và lùi ba bước:

Ta thấy người xách cặp dừng ở số −6, khớp với −2 · 3 = −6.

Tiếp theo thử 2 · (−3). Số thứ nhất dương nên người đó đi tiến. Nhưng số thứ hai âm nên người đó quay mặt sang trái. Người đó nhìn sang trái và tiến ba bước:

Người đó lại dừng ở số −6, khớp với 2 · (−3) = −6. Ta thấy quay mặt sang trái mà đi tiến hay quay mặt sang phải mà đi lùi thì cũng như nhau: trong cả hai trường hợp người đó đều đi vào vùng số âm.

Cuối cùng, cho người đó tính −2 · (−3): quay mặt sang trái và đi lùi ba bước:

Có lẽ hơi bất ngờ, người đó dừng ở số 6. Vậy có thể nói −2 · (−3) = 6: tích của hai số âm là một số dương.