Perkalian bilangan negatif

Bilangan negatif kadang terasa kurang intuitif, terutama ketika kita harus mengalikannya.

Cara membayangkan bilangan negatif

Dalam kehidupan sehari-hari, kita jarang bertemu dengan bilangan negatif. Rasanya hampir tidak ada orang yang berkata, “Nek, lihat, di atas bukit itu ada minus delapan sapi!” Karena itu, perkalian bilangan negatif juga lebih sulit dijelaskan.

Namun, setidaknya ada satu keadaan ketika bilangan negatif mudah dipahami semua orang, yaitu keuangan rumah tangga dengan pemasukan dan pengeluarannya. Misalnya, jika kamu melihat mutasi rekening bankmu, kamu akan menemukan catatan seperti ini:

• +5.000.000 rupiah: gaji bulanan
• −350.000 rupiah: belanja di supermarket
• −150.000 rupiah: membeli permen karet untuk setahun
• +500.000 rupiah: bantuan pemerintah untuk suasana hati yang baik
• −1.500.000 rupiah: sewa kamar

Jika kamu menerima uang, jumlahnya diberi tanda plus. Jika kamu membelanjakan uang, jumlahnya diberi tanda minus, karena uang yang dibelanjakan itu mengurangi saldomu.

Jadi, bilangan negatif bisa kita bayangkan sebagai pengeluaran. Jika uang kita bertambah seribu rupiah, kita menulisnya +1.000. Jika kita membelanjakan lima ribu rupiah, kita menulisnya −5.000. Tidak harus uang. Jika kita mengambil enam permen karet dari keranjang, kita bisa mencatatnya sebagai −6.

Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif

Berapakah hasil kali 7 · (−2.000)? Pada dasarnya, yang dipertanyakan adalah tanda hasilnya. Jelas hasilnya 14.000 atau −14.000. Bagaimana kita bisa menentukan mana yang benar?

Misalkan satu bungkus permen karet harganya 2.000 rupiah, dan kita membeli 7 bungkus. Sekarang kita bertanya, berapa banyak uang yang kita belanjakan untuk ketujuh bungkus permen karet itu. Jawabannya jelas: kita membelanjakan 7 · 2.000 = 14.000 rupiah.

Akan tetapi, uang itu benar-benar kita belanjakan, bukan kita terima. Karena itu, kita tambahkan tanda minus. Jika hasilnya kita biarkan 14.000, artinya uang itu pemasukan kita, padahal sebenarnya pengeluaran. Jadi, hasilnya adalah 7 · (−2.000) = −14.000.

Kita juga bisa mengubahnya menjadi penjumlahan. Misalkan kita hanya membeli dua bungkus permen karet. Masing-masing harganya dua ribu rupiah, jadi catatan keuangan kita berisi

• −2.000 rupiah: permen karet
• −2.000 rupiah: permen karet

Catatan ini bisa ditulis ulang sebagai 2 · (−2.000), atau pengeluarannya bisa kita jumlahkan: −2.000 + (−2.000) = −2.000 − 2.000 = −4.000. Setelah itu, kita cukup menulis:

• −4.000 rupiah: dua bungkus permen karet

Ketika kita mengalikan bilangan positif dengan bilangan negatif (atau bilangan negatif dengan bilangan positif, sama saja), kita bisa membayangkan bahwa bilangan negatif menyatakan suatu pengeluaran, sedangkan bilangan positif menyatakan berapa kali pengeluaran itu terjadi. Karena yang kita jumlahkan adalah pengeluaran, hasilnya juga harus negatif.

Alasan aljabar

Bahwa hasil kali bilangan positif dan bilangan negatif adalah bilangan negatif juga bisa dijelaskan secara aljabar. Coba kita hitung soal ini: 5 · (4 − 4). Jelas hasilnya nol, karena 4 − 4 = 0 dan 5 · 0 = 0. Namun, jika kita sudah mengenal pemfaktoran dan cara menjabarkan tanda kurung, soal tadi juga bisa ditulis seperti ini:

$$5\cdot 4+5\cdot (-4)=0$$

Bentuk tadi kita ubah menjadi bentuk lain yang ekuivalen. Ruas kiri persamaan tetap harus sama dengan nol, karena bentuk awal 5 · (4 − 4) juga sama dengan nol. Sekarang kita hitung 5 · 4 = 20:

$$20+5\cdot (-4)=0$$

Sekarang tinggal bentuk 5 · (−4). Supaya persamaan tetap benar, berapakah nilai bentuk ini? Bilangan berapa yang harus ditambahkan pada 20 agar hasilnya nol? Jawabannya −20. Jadi, satu-satunya hasil yang mungkin untuk 5 · (−4) adalah −20. Sekali lagi terlihat bahwa hasil kali bilangan positif dan bilangan negatif adalah bilangan negatif.

Hasil kali dua bilangan negatif

Hasil kali dua bilangan negatif adalah bilangan positif. Sekilas hal ini tampak aneh, tetapi sebenarnya cukup masuk akal. Dalam bahasa sehari-hari pun berlaku hal serupa jika kita memakai negasi ganda. Pengumuman “kami tidak akan bersikap tidak sopan” berisi dua kata ingkar, tetapi artinya sama dengan “kami akan bersikap sopan”. (Di sini kita menganggap bahwa seseorang hanya bisa sopan atau tidak sopan. Secara teori, bisa saja seseorang tidak termasuk keduanya.)

Penjelasan yang mudah bisa kamu temukan pada bagian berikutnya, yaitu dengan gerakan bapak yang membawa koper. Sebelum itu, berikut tabel ringkas tanda hasil kali bilangan positif dan negatif:

$$\begin{array}{rcl}\text{positif}\cdot \text{positif}& =& \text{positif}\\ \text{positif}\cdot \text{negatif}& =& \text{negatif}\\ \text{negatif}\cdot \text{positif}& =& \text{negatif}\\ \text{negatif}\cdot \text{negatif}& =& \text{positif}\end{array}$$

Penjelasan dengan gerakan

Perkalian dengan faktor negatif bisa dijelaskan dengan jelas melalui gerakan. Bayangkan kita berdiri di titik nol pada garis bilangan, kira-kira seperti ini:

Lalu ambil hasil kali dua bilangan, misalnya 2 · 3. Hasil kali ini akan kita tunjukkan pada garis bilangan sebagai gerakan bapak yang membawa koper. Bilangan pertama menyatakan panjang langkah, dan bilangan kedua menyatakan banyak langkah yang diambil bapak itu. Jadi, hasil kali ini bisa kita pandang sebagai panjang langkah · banyak langkah.

Bilangan negatif juga kita perhitungkan. Jika panjang langkahnya positif, bapak itu berjalan maju seperti biasa. Jika panjang langkahnya negatif, dia berjalan mundur. Jika banyak langkahnya positif, bapak itu menghadap ke kanan (seperti pada gambar di atas). Jika banyak langkahnya negatif, dia menghadap ke kiri.

Bilangan tempat bapak berkoper itu berhenti adalah hasil kali kedua bilangan tersebut. Mari kita lihat hasilnya untuk semua kombinasi bilangan positif dan negatif.

Untuk hasil kali 2 · 3, bapak itu menghadap ke kanan dan berjalan maju. Dia melangkah maju tiga kali, masing-masing sepanjang dua kotak.

Bapak berkoper berhenti di bilangan 6, jadi hasilnya 2 · 3 = 6.

Sekarang kita coba hasil kali −2 · 3. Bilangan pertama negatif, artinya kali ini bapak itu berjalan mundur. Namun, bilangan kedua positif, jadi dia menghadap ke kanan. Jadi, bapak itu menghadap ke kanan dan melangkah mundur tiga kali:

Terlihat bahwa bapak berkoper berhenti di bilangan −6, dan hal ini sesuai dengan −2 · 3 = −6.

Selanjutnya kita coba 2 · (−3). Bilangan pertama positif, jadi bapak itu berjalan maju. Akan tetapi, bilangan kedua negatif, jadi dia menghadap ke kiri. Bapak itu menghadap ke kiri dan melangkah maju tiga kali:

Bapak itu kembali berhenti di bilangan −6, sesuai dengan 2 · (−3) = −6. Terlihat bahwa tidak ada bedanya apakah bapak itu menghadap ke kiri dan berjalan maju, atau menghadap ke kanan dan berjalan mundur. Dalam kedua kasus, dia sampai di bilangan negatif.

Terakhir, kita minta bapak itu menghitung −2 · (−3). Kita putar dia menghadap ke kiri, lalu kita biarkan dia melangkah mundur tiga kali:

Mungkin agak mengejutkan, bapak itu berhenti di bilangan 6. Jadi, kita bisa mengatakan bahwa −2 · (−3) = 6: hasil kali dua bilangan negatif adalah bilangan positif.