Pendaraban secara lazim

Cara mendarab dua nombor dengan hanya menggunakan pensel dan kertas.

Langkah pendaraban secara lazim

Kita bermula dengan contoh yang mudah. Contoh yang lebih kompleks terdapat di hujung artikel. Pada mulanya, andaikan kita mempunyai dua nombor yang hendak didarab. Buat masa ini, kita hanya menggunakan nombor asli. Katakan kita mahu mendarab 13 · 72. Tulis kedua-dua nombor ini dalam lajur dan lukis garis di bawahnya:

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\end{array}}$$

Mula-mula, darab digit terakhir nombor bawah (digit sa) dengan setiap digit nombor atas. Sekali lagi kita bermula dari kanan, jadi yang pertama kita darab ialah 2 · 3 = 6. Tulis hasilnya tepat di bawah digit 2. Seterusnya, darab digit 2 dengan digit kedua dari kanan, iaitu 2 · 1 = 2. Tulis hasil ini tepat di bawah 7:

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\\ & 26\end{array}$$

Dalam nombor bawah, kita beralih satu digit ke kiri, iaitu ke digit 7, dan mengulangi langkah yang sama. Namun, oleh sebab kita telah beralih satu nilai tempat (digit 7 mewakili puluh, manakala digit 2 mewakili sa), kita juga perlu beralih satu nilai tempat di bawah garis. Tulis sifar di sebelah kanan bawah, iaitu di bawah digit 6. Selepas itu, teruskan seperti biasa.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

Kita darab 7 · 3 = 21. Di sini ada perangkap: kita hanya boleh menulis satu digit, bukan 21 yang terdiri daripada dua digit. Penyelesaiannya ialah memecahkan nombor itu kepada dua digit. Digit kanan, iaitu 1, ditulis di atas kertas, manakala digit kiri, iaitu 2, kita ingat untuk pusingan seterusnya. Jadi, tulis 1 dan ingat 2. Digit 1 ditulis betul-betul di sebelah sifar.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

Seterusnya, darab digit 7 dengan digit 1 dalam nombor atas: 7 · 1 = 7. Sekarang tiba giliran digit 2 yang kita ingat tadi. Tambahkannya kepada hasil ini: 7 + 2 = 9. Tulis nombor ini di sebelah kiri digit 1 dalam baris paling bawah:

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \cdot & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

Tinggal satu langkah terakhir, iaitu menambah nombor-nombor di bawah garis.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

Kita memperoleh 936, iaitu hasil darab 13 · 72.

Sebab kaedah ini berfungsi

Pendaraban boleh dipecahkan kepada hasil darab dan hasil tambah yang lebih mudah seperti berikut: 13 · 72 sama dengan 13 · 2 + 13 · 70. Anda boleh melihat pemfaktoran di sini, tetapi akal biasa sudah memadai. Jika saya menambah nombor tiga belas sebanyak tujuh puluh dua kali, hasilnya sama seperti menambah tiga belas sebanyak tujuh puluh kali, kemudian menambah dua lagi nombor tiga belas.

Langkah-langkah yang diterangkan tadi hanya menghasilkan hasil darab separa ini. Perhatikan bahawa di bawah garis kita memperoleh nombor 26 dan 910. Didapati bahawa 26 = 2 · 13 dan 910 = 70 · 13.

Supaya pengiraan ini betul, kita perlu menulis sifar dalam baris kedua kerana sebenarnya kita mengira 7 · 13. Untuk memperoleh hasil darab 70 · 13 daripadanya, kita perlu menambah satu sifar lagi pada hasil itu.

Contoh yang lebih sukar

Hitung 28 · 617. Mula-mula tulis nombor-nombor ini dalam lajur:

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\end{array}}$$

Dalam langkah pertama, kita mengira 7 · 8 = 56. Tulis 6 dan bawa 5.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

Seterusnya, 7 · 2 = 14. Tambah 5 yang dibawa tadi: 14 + 5 = 19. Tulis 9 dan bawa 1.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

Oleh sebab tiada lagi digit untuk didarab, kita tulis angka 1 itu:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

Kita beralih ke baris kedua. Tulis sifar dan darab: 1 · 8 = 8. Tulis 8:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

Seterusnya, 1 · 2 = 2. Tulis 2:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

Sekarang kita beralih ke baris ketiga. Kita beralih satu lagi nilai tempat, jadi kita tulis satu sifar lebih daripada sebelumnya:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

Kemudian kita darab: 6 · 8 = 48. Tulis 8 dan bawa 4.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

Seterusnya, 6 · 2 = 12. Tambah 4, jadi kita peroleh 12 + 4 = 16. Tulis 6 dan bawa 1.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Oleh sebab tiada lagi digit untuk didarab, kita tulis angka 1 itu:

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \cdot & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Akhir sekali, tambah ketiga-tiga nombor di bawah garis:

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$