Писмено умножение

Как да умножим две числа само с молив и хартия.

Алгоритъм на писменото умножение

Започваме с лесен пример, а по-сложният е в края на статията. В началото приемаме, че имаме две числа, които искаме да умножим. Засега ще работим само с естествени числа. Да кажем, че искаме да умножим числата 13 · 72. Записваме ги едно под друго и под тях теглим черта:

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\end{array}}$$

Започваме да умножаваме последната цифра (на мястото на единиците) на долното число с всички цифри на горното число. Започваме отново отдясно, така че първо умножаваме 2 · 3 = 6. Резултата записваме точно под цифрата 2. След това умножаваме цифрата 2 с втората цифра отдясно, тоест умножаваме 2 · 1 = 2. Този резултат записваме точно под 7:

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\\ & 26\end{array}$$

Преместваме се в долното число с една цифра наляво, стигаме до цифрата 7 и правим същото. Но тъй като сме се преместили с един разред (седмицата представлява десетици, а двойката – единици), трябва да се преместим с един разред и под чертата. Най-вдясно на долния ред, под шестицата, записваме нула. След това продължаваме по същия начин.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

Умножаваме 7 · 3 = 21. Тук идва капанът – можем да запишем само една цифра, не можем да напишем 21, защото това са две цифри. Решаваме го така: разделяме числото на две цифри – дясната, тоест 1, записваме на хартията, а лявата, тоест 2, запомняме за следващата стъпка. Значи: 1 пишем, 2 наум. Единицата записваме непосредствено до нулата.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

След това умножаваме цифрата 7 с цифрата 1 в горното число: 7 · 1 = 7. Сега идва ред на запомнената цифра 2: прибавяме я към този резултат: 7 + 2 = 9. Това число записваме вляво от цифрата 1 в най-долния ред:

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \cdot & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

Остава последната стъпка: да съберем числата под чертата.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

Получаваме числото 936, което е точно произведението 13 · 72.

Защо работи

Умножението можем да разложим на по-прости произведения и сборове така: можем да запишем, че 13 · 72 е същото като 13 · 2 + 13 · 70. Можеш да видиш в това изнасяне пред скоби, но е достатъчен и здравият разум: ако събирам седемдесет и два пъти числото тринайсет, това е същото, като да събера седемдесет пъти числото тринайсет и после да добавя още две тринайсетки.

Описаният алгоритъм не прави нищо друго, освен да пресмята тези частични произведения. Забележи, че под чертата получихме числата 26 и 910. При това 26 = 2 · 13 и 910 = 70 · 13.

За да излезе всичко вярно, трябваше във втория ред да допишем нула – защото всъщност пресмятахме 7 · 13. За да получим от него произведението 70 · 13, трябва към резултата да добавим още една нула.

По-сложен пример

Пресметни: 28 · 617. Първо записваме числата едно под друго:

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\end{array}}$$

В първата стъпка пресмятаме: 7 · 8 = 56. Записваме 6, 5 наум.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

След това: 7 · 2 = 14, прибавяме 5 от предишната стъпка: 14 + 5 = 19. Записваме 9, 1 наум.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

Тъй като вече няма какво да умножаваме, дописваме единицата:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

Преминаваме към втория ред. Дописваме нула и умножаваме: 1 · 8 = 8, записваме 8:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

След това: 1 · 2 = 2, записваме 2:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

И преминаваме към третия ред. Преместваме се с още един разред, така че записваме с една нула повече, отколкото преди:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

И умножаваме: 6 · 8 = 48, 8 записваме, 4 наум.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

След това: 6 · 2 = 12, прибавяме 4, така че получаваме 12 + 4 = 16. 6 записваме, 1 наум.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Тъй като вече няма какво да умножаваме, дописваме единицата:

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \cdot & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

А сега събираме трите числа под чертата:

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$