곱셈의 세로셈

연필과 종이만으로 두 수를 곱하는 방법을 알아보자.

곱셈 세로셈의 과정

쉬운 예부터 시작하고, 더 어려운 예는 글 끝에 있다. 곱하려는 두 수가 있다고 하자. 우선 자연수만 다룬다. 예를 들어 13 × 72를 계산해 보자. 두 수를 위아래로 쓰고 그 아래에 선을 긋는다.

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \times & 72\end{array}}$$

아래 수의 마지막 숫자(일의 자리)를 위 수의 모든 숫자에 곱한다. 여기서도 오른쪽부터 시작하므로 먼저 2 × 3 = 6을 계산한다. 결과는 숫자 2 바로 아래에 쓴다. 다음으로 숫자 2와 오른쪽에서 두 번째 숫자를 곱한다. 즉 2 × 1 = 2를 계산하고, 이 결과는 7 바로 아래에 쓴다.

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \times & 72\\ & 26\end{array}$$

이제 아래 수에서 한 자리 왼쪽으로 옮겨 숫자 7로 같은 과정을 되풀이한다. 그런데 한 자리를 옮겼으므로(7은 십의 자리, 2는 일의 자리) 선 아래에서도 한 자리를 옮겨야 한다. 그래서 오른쪽 아래, 6 밑에 0을 쓴다. 그다음은 앞과 같다.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \times & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

한국 교과서의 세로셈에서는 이 0을 쓰지 않고 한 칸 왼쪽부터 쓰기도 하는데, 뜻은 같다. 이제 7 × 3 = 21을 계산한다. 그런데 여기서 문제가 생긴다. 한 칸에는 숫자 하나만 쓸 수 있으므로 두 자리 수 21을 그대로 쓸 수 없다. 그래서 이 수를 두 숫자로 나누어 오른쪽 숫자 1은 종이에 쓰고, 왼쪽 숫자 2는 기억해 두었다가 다음 계산에 쓴다(받아올림). 즉 1을 쓰고 2를 기억한다. 1은 0 바로 왼쪽에 쓴다.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \times & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

다음으로 숫자 7과 위 수의 숫자 1을 곱한다. 7 × 1 = 7이다. 이제 기억해 둔 숫자 2를 이 결과에 더한다. 7 + 2 = 9이다. 이 수를 맨 아래 줄의 숫자 1 왼쪽에 쓴다.

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \times & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

마지막 단계가 남았다. 선 아래의 수들을 더한다.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

936이 나오는데, 이것이 13 × 72의 곱이다.

왜 맞을까

곱셈은 더 간단한 곱과 합으로 나눌 수 있다. 13 × 72는 13 × 2 + 13 × 70과 같다. 여기서 공통인수로 묶기를 떠올릴 수도 있지만 상식으로도 충분하다. 13을 72번 더하는 것은 13을 70번 더한 다음 13을 두 번 더 더하는 것과 같다.

앞에서 본 과정은 바로 이런 곱들을 차례로 계산하는 것이다. 잘 보면 선 아래에 26과 910이 나왔다. 그리고 26 = 2 × 13, 910 = 70 × 13이다.

이것이 맞으려면 둘째 줄에 0을 써야 했다. 실제로는 7 × 13을 계산했으므로, 이것을 70 × 13으로 만들려면 결과에 0을 하나 더 붙여야 하기 때문이다.

더 어려운 예

28 × 617을 계산하시오. 먼저 두 수를 위아래로 쓴다.

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \times & 6& 1& 7\end{array}}$$

첫 단계는 7 × 8 = 56이다. 6을 쓰고 5를 받아올린다.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \times & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

다음은 7 × 2 = 14이고, 앞에서 받아올린 5를 더하면 14 + 5 = 19이다. 9를 쓰고 1을 받아올린다.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \times & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

더 곱할 숫자가 없으므로 받아올린 1을 쓴다.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \times & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

둘째 줄로 넘어간다. 0을 쓰고 곱한다. 1 × 8 = 8이므로 8을 쓴다.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \times & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

다음은 1 × 2 = 2이므로 2를 쓴다.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \times & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

셋째 줄로 넘어간다. 한 자리 더 옮겨 가므로 앞보다 0을 하나 더 쓴다.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \times & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

곱하면 6 × 8 = 48이다. 8을 쓰고 4를 받아올린다.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \times & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

다음은 6 × 2 = 12이고, 4를 더하면 12 + 4 = 16이다. 6을 쓰고 1을 받아올린다.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \times & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

더 곱할 숫자가 없으므로 받아올린 1을 쓴다.

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \times & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

이제 선 아래의 세 수를 모두 더한다.

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$