Perkalian bersusun

Bagaimana cara mengalikan dua bilangan hanya dengan pensil dan kertas?

Langkah-langkah perkalian bersusun

Kita mulai dengan contoh yang mudah. Contoh yang lebih sulit ada di akhir artikel. Misalkan ada dua bilangan yang ingin kita kalikan. Untuk sementara, kita hanya bekerja dengan bilangan asli. Misalnya, kita ingin menghitung 13 · 72. Kedua bilangan ditulis bersusun ke bawah, lalu di bawahnya dibuat garis:

$$\underline{\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\end{array}}$$

Mula-mula, angka terakhir bilangan bawah (angka satuan) dikalikan dengan semua angka bilangan atas. Kita mulai lagi dari kanan, jadi yang pertama dihitung adalah 2 · 3 = 6. Hasilnya ditulis tepat di bawah angka 2. Selanjutnya, angka 2 dikalikan dengan angka kedua dari kanan, yaitu 2 · 1 = 2. Hasil ini ditulis tepat di bawah angka 7:

$$\begin{array}{cr}& 13\\ \cdot & 72\\ & 26\end{array}$$

Pada bilangan bawah, kita bergeser satu angka ke kiri, ke angka 7, lalu melakukan langkah yang sama. Karena kita bergeser satu nilai tempat (angka 7 menyatakan puluhan, sedangkan angka 2 menyatakan satuan), di bawah garis kita juga harus bergeser satu nilai tempat. Di kanan bawah, di bawah angka 6, kita tulis angka 0. Setelah itu, kita lanjutkan dengan cara yang sama.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & & 0\end{array}$$

Kita hitung 7 · 3 = 21. Di sini ada jebakan: kita hanya boleh menulis satu angka, padahal 21 terdiri atas dua angka. Masalah ini diselesaikan dengan memecah bilangan menjadi dua angka. Angka kanan, yaitu 1, ditulis di kertas, sedangkan angka kiri, yaitu 2, disimpan untuk langkah berikutnya. Jadi, 1 ditulis, 2 disimpan. Angka 1 ditulis tepat di sebelah angka 0.

$$\begin{array}{ccc}& 1& 3\\ \cdot & 7& 2\\ & 2& 6& \\ & 1& 0\end{array}$$

Selanjutnya, angka 7 dikalikan dengan angka 1 pada bilangan atas: 7 · 1 = 7. Sekarang giliran angka simpanan 2: angka ini ditambahkan pada hasil tadi, 7 + 2 = 9. Bilangan ini ditulis di sebelah kiri angka 1 pada baris paling bawah:

$$\begin{array}{cccc}& & 1& 3\\ \cdot & & 7& 2\\ & & 2& 6& \\ & 9& 1& 0\end{array}$$

Tinggal langkah terakhir, yaitu menjumlahkan bilangan-bilangan di bawah garis.

$$\begin{array}{ccccc}& & 2& 6& \\ +& 9& 1& 0\\ & 9& 3& 6\end{array}$$

Hasilnya 936, dan bilangan ini memang hasil kali 13 · 72.

Mengapa cara ini benar

Perkalian bisa diuraikan menjadi perkalian dan penjumlahan yang lebih sederhana. Kita bisa menulis bahwa 13 · 72 sama dengan 13 · 2 + 13 · 70. Di sini kamu bisa melihat pemfaktoran, tetapi sebenarnya cukup dengan akal sehat. Menjumlahkan bilangan tiga belas sebanyak tujuh puluh dua kali sama saja dengan menjumlahkan tiga belas sebanyak tujuh puluh kali, lalu menambahkan dua kali tiga belas lagi.

Langkah-langkah di atas hanya menghasilkan hasil kali parsial seperti itu. Perhatikan bahwa di bawah garis kita memperoleh bilangan 26 dan 910. Ternyata 26 = 2 · 13 dan 910 = 70 · 13.

Supaya hasilnya benar, pada baris kedua kita harus menambahkan angka 0, karena sebenarnya kita menghitung 7 · 13. Untuk mendapatkan hasil kali 70 · 13, hasilnya masih perlu ditambah satu angka 0.

Contoh yang lebih sulit

Hitunglah 28 · 617. Pertama, kedua bilangan ditulis bersusun:

$$\underline{\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\end{array}}$$

Pada langkah pertama, kita hitung 7 · 8 = 56. Tulis 6, simpan 5.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & & 6\end{array}$$

Selanjutnya, 7 · 2 = 14, ditambah 5 yang disimpan tadi: 14 + 5 = 19. Tulis 9, simpan 1.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & & 9& 6\end{array}$$

Karena tidak ada lagi yang perlu dikalikan, kita tulis angka 1 yang disimpan:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\end{array}$$

Sekarang kita pindah ke baris kedua. Tulis angka 0, lalu kalikan 1 · 8 = 8 dan tulis 8:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & & 8& 0\end{array}$$

Selanjutnya, 1 · 2 = 2, tulis 2:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\end{array}$$

Kita pindah ke baris ketiga. Kita bergeser satu nilai tempat lagi, jadi angka 0 yang ditulis bertambah satu dibanding sebelumnya:

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & & 0& 0\end{array}$$

Lalu kita kalikan: 6 · 8 = 48. Tulis 8, simpan 4.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ & 8& 0& 0\end{array}$$

Selanjutnya, 6 · 2 = 12, ditambah 4, sehingga kita peroleh 12 + 4 = 16. Tulis 6, simpan 1.

$$\begin{array}{cccc}& & 2& 8\\ \cdot & 6& 1& 7\\ & 1& 9& 6\\ & 2& 8& 0\\ 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Karena tidak ada lagi yang perlu dikalikan, kita tulis angka 1 yang disimpan:

$$\begin{array}{ccccc}& & & 2& 8\\ \cdot & & 6& 1& 7\\ & & 1& 9& 6\\ & & 2& 8& 0\\ 1& 6& 8& 0& 0\end{array}$$

Sekarang ketiga bilangan di bawah garis kita jumlahkan:

$$\begin{array}{cccccc}& & & 1& 9& 6\\ & & & 2& 8& 0\\ +& 1& 6& 8& 0& 0\\ & 1& 7& 2& 7& 6\end{array}$$