Enhetssirkelen

Enhetssirkelen er en helt vanlig sirkel som er uten benevning, nærmere bestemt er radien til denne sirkelen lik én. Enhetssirkelen brukes til å vise definisjonene av de enkelte trigonometriske funksjonene på en pen måte.

Hva enhetssirkelen er

Enhetssirkelen er en sirkel med radius én, og sentrum i sirkelen ligger i origo i koordinatsystemet, altså i punktet (0, 0). Se på følgende figur:

Sirkelen er videre delt i fire deler, som vi kaller kvadranter. Øverst til høyre er 1. kvadrant, øverst til venstre 2., nederst til venstre 3. og nederst til høyre 4. Siden vi bruker denne sirkelen til å vise vinkler, er gradene markert på sirkelen. Der det er null grader, starter vanligvis vinkelbeinet til en vinkel, og det dreies mot klokka. Derfor er punktet (0, 1) markert med en rett vinkel.

Definisjon av sinus og cosinus på sirkelen

På enhetssirkelen kan vi vise de enkelte trigonometriske funksjonene veldig fint. Først setter vi av en vinkel på enhetssirkelen, og så viser vi hvor vi kan lese av verdiene til de enkelte funksjonene på enhetssirkelen.

Vi har satt av vinkelen AOB på sirkelen (rødt). Denne vinkelen har vi kalt alfa. Vinkelbeina skjærer enhetssirkelen i to punkter: A og B. Det viktige for oss blir punktet B. Hvis vi trekker en linje fra punktet B parallelt med x-aksen (på figuren er det den stiplede vannrette streken), skjærer denne linjen y-aksen i nøyaktig ett punkt. Dette punktet kaller vi P_s. Da gjelder det at lengden av linjestykket OP_s (det grønne linjestykket) er lik sinus til vinkelen alfa.

Siden vi beveger oss i enhetssirkelen, som har sentrum i origo i koordinatsystemet, gjelder det at lengden av linjestykket OP_s (det grønne linjestykket) er lik y-koordinaten til punktet P_s, som er lik y-koordinaten til punktet B.

På samme sirkel kan vi også lese av cosinus. Vi trekker en linje parallelt med y-aksen gjennom punktet B. Denne linjen skjærer x-aksen i et punkt som vi kaller P_c. Lengden av linjestykket OP_c er da lik cosinus til vinkelen alfa. Igjen kan vi si at denne verdien er lik x-koordinaten til punktene B og P_c.

Definisjon av tangens og cotangens

På samme måte som vi definerte sinus og cosinus på enhetssirkelen, kan vi her definere tangens og cotangens. For oversiktens skyld viser vi først hvor tangens forekommer på enhetssirkelen. Til det trenger vi en ny linje. Det blir linjen som er parallell med y-aksen og går gjennom punktet A, altså punktet (1, 0). På følgende figur er det den blå linjen:

Denne linjen skjærer strålen (vinkelbeinet) OB i ett punkt, som vi kaller P_t. Lengden av linjestykket AP_t er da lik tangens til vinkelen alfa. Igjen gjelder det at det holder å ta y-koordinaten til punktet P_t, så får vi også tangens til vinkelen alfa.

For å vise cotangens på enhetssirkelen trenger vi enda en linje. Denne gangen er det en linje som går gjennom punktet (0, 1) og er parallell med x-aksen. Den er også uthevet med blå farge:

Denne linjen skjærer strålen (vinkelbeinet) OB i ett punkt, som vi kaller P_k. Lengden av linjestykket CP_k er da lik cotangens til vinkelen alfa. Som alltid kan vi bare ta x-koordinaten til punktet P_k, så får vi cotangens til vinkelen.

Spørsmålet er hva som skjer hvis vinkelen alfa er større enn 90 grader for tangens og større enn 180 grader for cotangens, for i disse tilfellene skjærer ikke linjen vinkelbeinet, se følgende figur:

I dette tilfellet gjør vi strålen OB om til en linje, og denne linjen skjærer da linjen p.

På samme måte ville vi gått fram for tangens.

Når tangens og cotangens ikke er definert

På enhetssirkelen kan vi legge merke til én interessant ting. Hvis vinkelen alfa er lik 180 grader, skjærer aldri linjen p og vinkelbeinet hverandre, for de er parallelle. Hvordan retter vi opp dette problemet? Det gjør vi ikke, cotangens til 180 grader er ikke definert. På samme måte er ikke tangens til 90 grader definert, for et slikt vinkelbein blir parallelt med y-aksen og dermed også parallelt med linjen det skulle skjære. Følgende figur viser det i det minste for cotangens.