Hva er en funksjon

Funksjon er et helt grunnleggende begrep i matematikk, og du bør forstå det godt. Matematikken er full av funksjoner, og nesten hvert eneste symbol du kjenner fra barneskolen, er egentlig en funksjon.

Funksjon som bilde

Har du noen gang sett en kaffeautomat? Hva er typisk for en slik automat? Du legger noen mynter i automaten, og så får du en kopp kaffe. Legger du flere mynter i automaten, får du bedre kaffe.

En funksjon er en slik matematisk kaffeautomat. Du legger inn en inputverdi (myntene), og funksjonen gir deg en outputverdi (kaffen). Det er hele grunnprinsippet.

Oppgaven til funksjonen er å ta imot en inputverdi, et tall, gjøre noe med dette tallet inni funksjonen, endre det og så gi det nye tallet tilbake som output.

Grunnleggende begreper

Hver funksjon har et navn som skiller den fra andre. Det vanligste navnet på en funksjon er bokstaven «f». Vi trenger også et funksjonsuttrykk som bestemmer hvordan funksjonen skal virke, altså hvordan automaten skal lage kaffen. Til å begynne med kan du tenke deg en funksjon som en tabell med to kolonner. I den første kolonnen står input (i automaten ville det vært verdien av myntene), og i den andre output fra funksjonen (kaffen).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Vi ser at output alltid er det dobbelte av input, men det trenger slett ikke være slik. Vi kan også ha en tabell som denne:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Til å begynne med holder det likevel med den første, regelmessige tabellen. Vi kan si at denne tabellen definerer en funksjon f. Hva gjør funksjonen? Vi legger inn en inputverdi, funksjonen slår opp verdien i den første kolonnen i tabellen og gir tilbake output fra samme rad. Hvis vi vil finne output for tallet tre, skriver vi det slik:

$$f(3)=6$$

Vi fant raden der input er lik tre, og på samme rad var output lik seks. Videre gjelder f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 og f(5) = 10. Å skrive alle funksjoner som tabeller kan se oversiktlig ut for noen få tall, men når vi arbeider med flere tall, er det helt upraktisk. Derfor trenger vi en annen skrivemåte. Vi kan angi funksjonen med et funksjonsuttrykk. I tabellen vår var output det dobbelte av input. Med et funksjonsuttrykk kan vi skrive det slik:

$$f(x)=2\cdot x$$

Dette er en enkel lineær funksjon, men det spiller ingen rolle foreløpig. Hva forteller dette uttrykket oss? Bokstaven f er navnet på funksjonen, det vet vi allerede. Uttrykket i parentesen, altså bokstaven x, er parameteren til funksjonen. I bildet med automaten tilsvarer det «verdien av myntene vi legger inn». Parameteren er en variabel som tar imot verdien vi sender inn. Hvis vi la tjue kroner i automaten (funksjonen), ville det i funksjonen gjelde at x = 20. Resten av arbeidet med denne verdien gjør automaten, eller funksjonen, på egen hånd.

Videre kommer likhetstegnet, og etter likhetstegnet står selve uttrykket, som sier hva som skal gjøres med verdien x. Vi ser at funksjonen ganger verdien x med to. Det er alt.

Flere eksempler på funksjoner

På høyre side kan det stå nesten hvilket som helst matematisk uttrykk. Der kan det også stå andre funksjoner, og der kan det stå betingelser som gjør definisjonen mer presis. Vi kunne for eksempel definere en funksjon med ord slik: «hvis input er et partall, gi tilbake null, og hvis input er et oddetall, gi tilbake én». Det blir en funksjon som bare gir tilbake én og null, men det er en funksjon likevel.

Det viktige er å forstå at en funksjon kan defineres nesten hvordan som helst. Selvfølgelig har også funksjoner sine regler, men de er ikke så viktige nå, og én av dem nevnes dessuten allerede i neste kapittel. En funksjonsdefinisjon trenger ikke gi mening ved første øyekast, og den trenger ikke ha noen orden. En funksjon kan gjerne gi tilbake det dobbelte av input hver gang, bortsett fra når input er sju. Da gir den tilbake ni. Det er nok ganske meningsløst, men det er også en funksjon.

Vi kan også kalle en stor del av det vi gjør utenfor matematikken, for funksjoner. Hvis du for eksempel teller hvor lang ordet «mammut» er, kan vi si at du har kalt opp en funksjon som heter «ordlengde» og sendt den ordet «mammut» som argument. Funksjonen telte bokstavene i ordet og ga tilbake tallet seks.

Trenger du å regne ut hvor mye du må betale i rentesrente på et lån eller et boliglån? Også det kan en funksjon ordne. Du definerer bare en funksjon som regner ut hvor stor renten er etter for eksempel ti år. Trenger du å finne ut hvor mange kilometer en bil rekker på et bestemt antall liter bensin? Definer en funksjon! Hvis bilen i gjennomsnitt kjører 11 kilometer på literen, kan vi definere en funksjon som regner ut hvor langt vi kommer, slik:

$$rekkevidde(x)=11\cdot x$$

Hvis vi bare har 17 liter bensin igjen, finner vi avstanden ved å kalle opp funksjonen slik:

$$rekkevidde(17)=11\cdot 17=187$$

En funksjon er rett og slett alt som gir oss et tall tilbake for en inputverdi. Gi tilbake avstanden i luftlinje fra Tromsø til en bestemt by, gi tilbake lengden på den lengste sangen på et gitt album, gi tilbake antall hår på hodet til en gitt person, gi tilbake antall bein på et gitt dyr og så videre.

Den grunnleggende egenskapen til en funksjon

Det aller viktigste kravet til en funksjon er at ingen verdi i den første kolonnen, der input står, forekommer to ganger, hvis vi går tilbake til tabellen. Hvis tabellen så slik ut:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… ville vi ikke kunne si hva funksjonen skal gi tilbake hvis vi legger inn én:

$$f(1)=?$$

En funksjon må være entydig definert. Det kan ikke skje at den gir to ulike resultater for samme input. Det går rett og slett ikke. Vi krever at en funksjon alltid gir samme output for samme input. Merk at dette kravet ikke gjelder den andre kolonnen, altså output. Outputverdiene kan godt være like, det gjør ingenting. Denne tabellen er gyldig:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Å regne ut en funksjon

Nå vet vi hva de ulike delene av en funksjon heter, og omtrent hvordan vi kan definere en funksjon. La oss forklare steg for steg hvordan vi regner ut en funksjon. Vi har funksjonen f(x) = 2x. Hva skjer hvis vi legger inn tre i funksjonen? Å legge tre inn i funksjonen betyr at vi setter inn tallet tre for parameteren. Argumentet til funksjonen er tre, så vi setter inn tre for alle x:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Vi ser allerede at funksjonen gir tilbake seks, akkurat som tabellen gjorde for en liten stund siden. Tabellen var imidlertid begrenset til fem tall, mens den nye definisjonen vår kan håndtere flere tall:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Når vi på denne måten setter inn konkrete verdier for variabelen x, kaller vi det å regne ut funksjonen, å kalle opp funksjonen eller å anvende funksjonen. Hvis vi sier at vi «kaller opp funksjonen f med argumentet 5», vil vi regne ut verdien f(5), som i vårt tilfelle blir f(5) = 2 · 5 = 10.

Her er to begreper til som du bør huske. Verdien vi kaller opp funksjonen med (det vi setter inn for x), kalles argumentet til funksjonen. Det kan virke litt forvirrende, men hvis vi har funksjonen f(x) og kaller den opp med verdien tre, f(3), er x parameteren til funksjonen og 3 argumentet. Argumentet er selve verdien vi kaller opp funksjonen med. Parameteren er den opprinnelige variabelen funksjonen er definert med. Dette er mest en teknisk detalj.

Det neste begrepet er funksjonsverdi, som er verdien funksjonen gir tilbake som output. Funksjonen ovenfor ga tilbake tallet seks da vi kalte den opp med tallet tre. Tallet seks er altså funksjonsverdien i dette tilfellet. Med en hel setning sier vi at «funksjonen f har funksjonsverdien seks i punktet tre». Med «punkt» mener vi her vanligvis argumentet til funksjonen.

Funksjoner i vanlig matematikk

I vanlig matematikk finnes det mange funksjoner som har en helt spesiell skrivemåte, så det ser ikke engang ut som om de er funksjoner. Absoluttverdi er for eksempel ikke noe annet enn en funksjon. Den tar et tall som input og gir enten det samme tallet eller tallet med motsatt fortegn som output.

Du kjenner sikkert igjen symbolet for kvadratrot: $\sqrt{}$. Dette er også en funksjon. Den tar et argument som input og gir kvadratroten som output. På samme måte er andre potens x² en funksjon. Den tar et tall som input og gir andre potens av tallet som output.

Det er ganske viktig å være klar over at de fleste slike magiske symboler egentlig ikke er noe mer komplisert enn en helt vanlig funksjon. Ikke se på symbolet $\sqrt{}$ som en rar, krum figur, men som en funksjon.

Et uttrykk med mange matematiske symboler kan være forvirrende, særlig for en nybegynner, som ikke skjønner halvparten av symbolene, selv om det bare er noen få sammensatte funksjoner. Ta dette eksemplet:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Når en som ikke kan matematikk ser på dette, klør han seg i hodet og vet ikke hva han skal gjøre med det. Likevel inneholder uttrykket fire ganske enkle funksjoner som anvendes etter tur på variabelen x. Vi kunne skrevet det ut med navngitte og nøstede funksjoner slik:

$$\text{fakultet}(\text{kvadratrot}(\text{abs}(\text{kvadrat}(x))))$$

Skrivemåten er lengre, men for den som ikke kan symbolene, er den nok mer oversiktlig. Samtidig er rekkefølgen funksjonene kalles opp i, helt tydelig.

Oppsummering av skrivemåten for funksjoner

En funksjon har et navn, og det kan være i prinsippet hva som helst. Oftest kalles en generell funksjon f. Hver funksjon har et bestemt antall parametere, som vi skriver i runde parenteser etter navnet. Hvis funksjonen vår f hadde to parametere, ville vi skrive det slik: f(x, y) eller f(a, b). Hva parameterne heter, spiller generelt ingen rolle.

Noen funksjoner som brukes ofte, har sitt eget symbol, for eksempel har kvadratrot symbolet $\sqrt{}$. Videre er sin eller sin(x) funksjonen sinus, |x| er funksjonen absoluttverdi og x! er funksjonen fakultet.

Hvis en funksjon har én parameter, utelater vi av og til parentesene, noe som noen ganger gjør skrivemåten mer oversiktlig og noen ganger ikke. Så sin(x) og sin x er begge gyldige skrivemåter for funksjonen sinus.

Når vi snakker om parameteren til en funksjon, mener vi bokstaven x i skrivemåten f(x). Argumentet er verdien vi kaller opp funksjonen med, den vi setter inn for x. Ofte flyter disse to begrepene sammen. Funksjonsverdien er verdien vi får når vi har kalt opp funksjonen. Vi skriver den enkelt som navnet på funksjonen, parenteser og argumentet. Hvis vi har funksjonen f(x) = 2x og setter inn argumentet x = 4 for parameteren x, sier vi at vi har kalt opp funksjonen med argumentet x = 4, og at den resulterende funksjonsverdien f(4) er lik åtte.