Like og odde funksjoner

For funksjoner kan vi bestemme paritet, altså om en funksjon er like eller odde. I ytterste tilfelle kan en funksjon være både like og odde, men oftest er den verken like eller odde.

Like funksjoner

En funksjon er like hvis den oppfyller en enkel regel: når du legger inn et tall x og så det motsatte tallet −x, må funksjonen gi samme verdi. En typisk like funksjon er f(x) = x². Hvis du kaller den opp med argumentene 6 og −6, får du f(6) = 36 og f(−6) = 36. Argumentene var ulike bare i fortegn, så resultatet er det samme.

En formell definisjon kan se slik ut. Hvis funksjonen f er like, må den oppfylle

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(x)=f(-x)$$

For alle x i definisjonsmengden til funksjonen må det gjelde at funksjonsverdiene er like også når vi kaller opp funksjonen med det motsatte argumentet, altså −x.

Hvordan viser en like funksjon seg i grafen? Hvis vi legger inn x og −x, får vi samme y. Hvis vi tenker over det, ligger x og −x like langt fra origo på x-aksen, og de har samme y-koordinat. Det betyr at grafen til en like funksjon er symmetrisk om y-aksen. Som illustrasjon, grafen til funksjonen x²:

Blant de vanlige funksjonene er disse like: cosinus og funksjoner på formen f(x) = x^a der a er et partall. Fra en opprinnelig odde funksjon kan absoluttverdi lage en like funksjon, for eksempel f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Odde funksjoner

En odde funksjon må oppfylle lignende regler som en like funksjon. Funksjonen f er odde hvis den oppfyller denne regelen:

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(-x)=-f(x)$$

I praksis betyr det at hvis punktet (a, b) ligger på grafen til en odde funksjon, må også punktet med motsatte koordinater, altså (−a, −b), ligge på den. Et eksempel på en odde funksjon er funksjonen f(x) = x³. Hvis vi setter inn to for x, får vi:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

I det andre uttrykket får vi

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Hvordan viser dette seg i grafen? Funksjonen skal inneholde både punktet (a, b) og (−a, −b). Hvis du tegner det, ser du at en slik graf er symmetrisk om origo i koordinatsystemet, altså punktet (0, 0). Grafen til funksjonen f(x) = x³ er vist på følgende figur.

Blant de vanlige funksjonene er disse odde: f(x) = x^a der a er et oddetall, og f(x) = ax der a er et vilkårlig reelt tall (altså en lineær funksjon uten konstantledd). Videre også f(x) = a/x og sinus.

Kontroll av om en funksjon er like

Hvordan kontrollerer vi om en funksjon er like? Vi må gå ut fra definisjonen. Ta for eksempel den kjente funksjonen f(x) = x². Vi kontrollerer etter definisjonen. Den sier at f(x) = f(−x). Hvis funksjonen er like, må den oppfylle:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Minus x i andre kan vi etter reglene for regning med potenser skrive slik:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Minus én i andre er én, så vi får bare x² tilbake.

$$x^2=1\cdot x^2$$

Er følgende funksjon like?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Vi setter inn i definisjonen:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Disse brøkene kan vi omskrive slik at vi i stedet for å ha absoluttverdien av hele brøken flytter den til teller og nevner.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Vi endrer nevneren i den andre brøken, for det gjelder helt sikkert at |x| = |−x|, etter definisjonen av absoluttverdi.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Nå får vi likhet.

Kontroll av om en funksjon er odde

Hvordan kontrollerer vi om en funksjon er odde? Vi må igjen gå ut fra definisjonen. Den sier at funksjonen f er odde hvis

$$f(-x)=-f(x)$$

Vi begynner med funksjonen f(x) = x³. Vi setter inn i definisjonen:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Den venstre siden kan vi skrive ut på samme måte som i forrige eksempel:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Minus én i tredje er minus én:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Altså har vi likhet:

$$-x^3=-x^3$$

Funksjonen er odde.

Er den gitte funksjonen odde?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Vi setter inn i definisjonen:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Her er det ikke så mye å omforme. Vi setter bare minustegnet i den første brøken utenfor hele brøken, og da får vi likheten:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Funksjonen er odde.

Verken like eller odde

En funksjon trenger ikke å være verken like eller odde. De fleste funksjoner er sannsynligvis slike. Et eksempel er den lineære funksjonen f(x) = x + 1. Vi prøver å sette inn i definisjonen av like funksjoner:

$$x+1=-x+1$$

Vi isolerer x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

Likheten gjelder ikke for alle x, bare for noen, så funksjonen er ikke like. Nå odde:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Denne likningen har aldri noen løsning, så funksjonen er ikke odde.

Både like og odde

Finnes det en funksjon som både er like og odde? Finnes det en graf som er symmetrisk både om y-aksen og om origo? Svaret er ja. Det finnes nøyaktig én funksjon som både er like og odde, og det er den konstante funksjonen f(x) = 0. Grafen til funksjonen faller nøyaktig sammen med x-aksen.

Merk: egentlig finnes det uendelig mange slike funksjoner, for vi kan definere en funksjon g(x) som har samme funksjonsuttrykk, men er definert på en annen definisjonsmengde. Vi kan for eksempel ha funksjonen g(x) = 0 med de naturlige tallene som definisjonsmengde. Denne funksjonen er ulik funksjonen f(x), som er definert på de reelle tallene. Funksjonsuttrykket er likevel alltid det samme.

Sammensatte funksjoner

Det oppstår en interessant situasjon når vi har to funksjoner som er odde eller like, og vi prøver å legge dem sammen, gange dem og så videre. For eksempel blir summen av to like funksjoner igjen en like funksjon. Det finnes mange regler og kombinasjoner.