Circunferência trigonométrica

A circunferência trigonométrica (ou unitária) é uma circunferência comum, adimensional, ou melhor, de raio igual a um. Ela serve para representar de forma bonita as definições de cada uma das funções trigonométricas.

O que é a circunferência trigonométrica

A circunferência trigonométrica é a circunferência que tem raio de comprimento um e cujo centro está na origem do sistema de coordenadas, isto é, no ponto (0, 0). Veja a figura seguinte:

A circunferência é ainda dividida em quatro partes, que chamamos de quadrantes. Em cima à direita está o primeiro quadrante, em cima à esquerda o segundo, embaixo à esquerda o terceiro e embaixo à direita o quarto. Como vamos usar essa circunferência para representar ângulos, os graus estão destacados nela. O lado do ângulo normalmente começa onde está o zero grau e gira no sentido anti-horário. Por isso o ponto (0, 1) está marcado com o ângulo reto.

Definição do seno e do cosseno na circunferência

Na circunferência trigonométrica dá para representar muito bem cada uma das funções trigonométricas. Primeiro marcamos na circunferência um ângulo e depois mostramos onde podemos ler, na circunferência, os valores de cada função.

Marcamos na circunferência o ângulo AOB (em vermelho). Demos a esse ângulo o nome alfa. Os lados do ângulo cortam a circunferência em dois pontos: A e B. O ponto B será importante para nós. Se do ponto B traçarmos uma reta paralela ao eixo x (na figura, é a linha horizontal tracejada), essa reta corta o eixo y em exatamente um ponto. Vamos chamar esse ponto de P_s. Vale então que o comprimento do segmento OP_s (o segmento verde) é igual ao seno do ângulo alfa.

Como nos movemos em uma circunferência de raio um, cujo centro está na origem do sistema de coordenadas, vale que o comprimento do segmento OP_s (o segmento verde) é igual à coordenada y do ponto P_s, que é igual à coordenada y do ponto B.

Na mesma circunferência podemos ler também o cosseno. Traçamos uma reta paralela ao eixo y passando pelo ponto B. Essa reta corta o eixo x em um ponto que vamos chamar de P_c. O comprimento do segmento OP_c é então igual ao cosseno do ângulo alfa. De novo podemos dizer que esse valor é igual à coordenada x dos pontos B e P_c.

Definição da tangente e da cotangente

Do mesmo modo que definimos na circunferência trigonométrica o seno e o cosseno, podemos definir aqui a tangente e a cotangente. Para ficar claro, vamos mostrar primeiro onde aparece a tangente na circunferência trigonométrica. Para isso precisaremos de mais uma reta. Será a reta paralela ao eixo y que passa pelo ponto A, ou seja, pelo ponto (1, 0). Na figura seguinte, é a reta azul:

Essa reta corta a semirreta (o lado do ângulo) OB em um ponto, que vamos chamar de P_t. O comprimento do segmento AP_t é então igual à tangente do ângulo alfa. De novo vale que basta tomar a coordenada y do ponto P_t e também obtemos a tangente do ângulo alfa.

Para representar a cotangente na circunferência trigonométrica, precisaremos ainda de mais uma reta. Desta vez será a reta que passa pelo ponto (0, 1) e é paralela ao eixo x. De novo ela está destacada em azul:

Essa reta corta a semirreta (o lado do ângulo) OB em um ponto, que vamos chamar de P_k. O comprimento do segmento CP_k é então igual à cotangente do ângulo alfa. Como sempre, podemos tomar apenas a coordenada x do ponto P_k e obtemos a cotangente do ângulo.

A questão é o que acontece se o ângulo alfa for maior que 90 graus no caso da tangente e maior que 180 graus no caso da cotangente, porque nesses casos a reta não corta o lado do ângulo, veja a figura seguinte:

Nesse momento transformamos a semirreta OB em uma reta, e essa reta já corta a reta p.

Procederíamos de modo semelhante no caso da tangente.

Quando a tangente e a cotangente não são definidas

Na circunferência trigonométrica podemos notar uma coisa interessante. Se o ângulo alfa é igual a 180 graus, então a reta p e o lado do ângulo nunca se cortam, porque serão paralelos. Como corrigimos esse problema? De nenhum modo: a cotangente de 180 graus não é definida. Do mesmo modo, a tangente de 90 graus não é definida, porque esse lado será paralelo ao eixo y e, portanto, também paralelo à reta com a qual deveria se cortar. A figura seguinte mostra isso pelo menos para a cotangente.