Cercul trigonometric

Cercul trigonometric este un cerc obișnuit, fără unitate de măsură; mai exact, raza acestui cerc este egală cu unu. Cercul trigonometric servește la reprezentarea intuitivă a definițiilor funcțiilor trigonometrice.

Ce este cercul trigonometric

Cercul trigonometric este cercul care are raza de lungime unu, iar centrul său se află în originea sistemului de coordonate, adică în punctul O(0, 0). Privește figura următoare:

Cercul este împărțit în patru părți, pe care le numim cadrane. În dreapta sus este cadranul I, în stânga sus cadranul II, în stânga jos cadranul III și în dreapta jos cadranul IV. Deoarece vom folosi acest cerc pentru a reprezenta unghiurile, pe cerc sunt marcate gradele. Acolo unde este zero grade începe de obicei latura unghiului, care apoi se rotește în sus (în sens invers acelor de ceasornic). De aceea punctul (0, 1) este marcat cu un unghi drept.

Definiția sinusului și a cosinusului pe cerc

Pe cercul trigonometric se pot reprezenta foarte frumos fiecare dintre funcțiile trigonometrice. Mai întâi trasăm pe cerc un unghi, apoi arătăm unde putem citi pe cerc valorile fiecărei funcții.

Am trasat pe cerc unghiul AOB (cu roșu). Acest unghi l-am numit alfa. Laturile unghiului intersectează cercul în două puncte: A și B. Important pentru noi va fi punctul B. Dacă din punctul B ducem o dreaptă paralelă cu axa Ox (în figură este linia orizontală punctată), această dreaptă intersectează axa Oy într-un singur punct. Acest punct îl notăm P_s. Atunci lungimea segmentului OP_s (segmentul verde) este egală cu sinusul unghiului alfa.

Deoarece ne aflăm în cercul trigonometric, care are centrul în originea sistemului de coordonate, lungimea segmentului OP_s (segmentul verde) este egală cu ordonata punctului P_s, care este egală cu ordonata punctului B.

Pe același cerc putem citi și cosinusul. Ducem deci o dreaptă paralelă cu axa Oy prin punctul B. Această dreaptă intersectează axa Ox într-un punct pe care îl notăm P_c. Lungimea segmentului OP_c este atunci egală cu cosinusul unghiului alfa. Putem spune din nou că această valoare este egală cu abscisa punctelor B și P_c.

Definiția tangentei și a cotangentei

Așa cum am definit pe cercul trigonometric sinusul și cosinusul, putem defini aici tangenta și cotangenta. Pentru claritate arătăm mai întâi unde apare tangenta pe cercul trigonometric. Pentru aceasta avem nevoie de încă o dreaptă. Va fi dreapta paralelă cu axa Oy care trece prin punctul A, adică prin punctul (1, 0). În figura următoare este dreapta albastră:

Această dreaptă intersectează semidreapta (latura unghiului) OB într-un punct pe care îl notăm P_t. Lungimea segmentului AP_t este atunci egală cu tangenta unghiului alfa. Din nou, este suficient să luăm ordonata punctului P_t și obținem tangenta unghiului alfa.

Pentru a reprezenta cotangenta pe cercul trigonometric avem nevoie de încă o dreaptă. De data aceasta este dreapta care trece prin punctul (0, 1) și este paralelă cu axa Ox. Este din nou evidențiată cu albastru:

Această dreaptă intersectează semidreapta (latura unghiului) OB într-un punct pe care îl notăm P_k. Lungimea segmentului CP_k este atunci egală cu cotangenta unghiului alfa. Ca întotdeauna, putem lua doar abscisa punctului P_k și obținem cotangenta unghiului.

Întrebarea este ce se întâmplă dacă unghiul alfa este mai mare de 90 de grade la tangentă și mai mare de 180 de grade la cotangentă, deoarece în aceste cazuri dreapta nu intersectează latura unghiului, vezi figura următoare:

În acest moment transformăm semidreapta OB într-o dreaptă, iar această dreaptă intersectează deja dreapta p.

La fel am proceda și în cazul tangentei.

Când tangenta și cotangenta nu sunt definite

Pe cercul trigonometric se poate observa un lucru interesant. Dacă unghiul alfa este egal cu 180 de grade, atunci dreapta p și latura unghiului nu se intersectează niciodată, deoarece sunt paralele. Cum remediem această problemă? Nu o remediem, cotangenta de 180 de grade nu este definită. La fel, tangenta de 90 de grade nu este definită, deoarece o astfel de latură va fi paralelă cu axa Oy și deci paralelă cu dreapta cu care ar trebui să se intersecteze. Figura următoare arată acest lucru cel puțin pentru cotangentă.