Enhetscirkeln

Enhetscirkeln är en vanlig cirkel som saknar enhet, eller mer exakt: cirkelns radie är lika med ett. Enhetscirkeln används för att åskådligt visa definitionerna av de olika trigonometriska funktionerna.

Vad är enhetscirkeln

Enhetscirkeln är en cirkel med radien ett, och dess medelpunkt ligger i origo i koordinatsystemet, alltså i punkten (0, 0). Titta på nästa bild:

Cirkeln är dessutom indelad i fyra delar som kallas kvadranter. Uppe till höger ligger den första kvadranten, uppe till vänster den andra, nere till vänster den tredje och nere till höger den fjärde. Eftersom vi ska använda cirkeln för att visa vinklar är graderna markerade på cirkeln. Där noll grader står börjar vanligtvis vinkelns ben, och det vrids moturs. Därför är punkten (0, 1) markerad med en rät vinkel.

Definition av sinus och cosinus på cirkeln

På enhetscirkeln kan man mycket fint visa de olika trigonometriska funktionerna. Först avsätter vi en vinkel på enhetscirkeln, och sedan visar vi var på enhetscirkeln vi kan avläsa värdena för de olika funktionerna.

Vi har avsatt vinkeln AOB (röd) på cirkeln. Vinkeln har fått namnet alfa. Vinkelbenen skär enhetscirkeln i två punkter: A och B. Punkten B blir viktig för oss. Om vi från punkten B drar en linje parallell med x-axeln (på bilden den streckade vågräta linjen) skär den y-axeln i exakt en punkt. Den punkten kallar vi P_s. Då gäller att längden av sträckan OP_s (den gröna sträckan) är lika med sinus för vinkeln alfa.

Eftersom vi befinner oss i enhetscirkeln, som har medelpunkten i origo, är längden av sträckan OP_s (den gröna sträckan) lika med y-koordinaten för punkten P_s, som i sin tur är lika med y-koordinaten för punkten B.

På samma cirkel kan vi också avläsa cosinus. Vi drar då en linje parallell med y-axeln genom punkten B. Linjen skär x-axeln i en punkt som vi kallar P_c. Längden av sträckan OP_c är då lika med cosinus för vinkeln alfa. Även här kan vi säga att värdet är lika med x-koordinaten för punkterna B och P_c.

Definition av tangens och cotangens

På samma sätt som vi definierade sinus och cosinus på enhetscirkeln kan vi här definiera tangens och cotangens. För överskådlighetens skull visar vi först var tangens finns på enhetscirkeln. Då behöver vi ytterligare en linje. Det är en linje som är parallell med y-axeln och går genom punkten A, alltså punkten (1, 0). På nästa bild är det den blå linjen:

Linjen skär strålen (vinkelbenet) OB i en punkt som vi kallar P_t. Längden av sträckan AP_t är då lika med tangens för vinkeln alfa. Det räcker också att ta y-koordinaten för punkten P_t, så får vi tangens för vinkeln alfa.

För att visa cotangens på enhetscirkeln behöver vi ytterligare en linje. Den här gången är det en linje som går genom punkten (0, 1) och är parallell med x-axeln. Den är också markerad med blått:

Linjen skär strålen (vinkelbenet) OB i en punkt som vi kallar P_k. Längden av sträckan CP_k är då lika med cotangens för vinkeln alfa. Som vanligt kan vi bara ta x-koordinaten för punkten P_k, så får vi cotangens för vinkeln.

Frågan är vad som händer när vinkeln alfa är större än 90° för tangens och större än 180° för cotangens, eftersom linjen då inte skär vinkelbenet, se nästa bild:

Då gör vi strålen OB till en hel linje, och den linjen skär linjen p.

På samma sätt skulle vi göra för tangens.

När tangens och cotangens inte är definierade

På enhetscirkeln kan vi lägga märke till en intressant sak. Om vinkeln alfa är 180° skär linjen p och vinkelbenet aldrig varandra, eftersom de är parallella. Hur rättar vi till det problemet? Det gör vi inte, cotangens för 180° är inte definierad. På motsvarande sätt är tangens för 90° inte definierad, eftersom ett sådant ben är parallellt med y-axeln och därmed också parallellt med den linje som det skulle skära. Nästa bild visar det åtminstone för cotangens.