Union, snitt, differens och komplement av mängder

Med mängder kan vi utföra olika mängdoperationer. De mest grundläggande är union, snitt, differens och komplement.

Union av mängder

Unionen av mängder betecknas med symbolen ∪, och unionen av mängderna A och B skriver vi alltså A ∪ B. Unionen av mängderna A och B är en ny mängd som innehåller alla element från mängden A och även alla element från mängden B. Definition:

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$$

Exempel: Låt oss ta två mängder A = {1, 3, 5, 7} och B = {2, 4, 6}. Unionen blir mängden A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Den resulterande mängden innehåller elementen från båda mängderna.

Ett exempel till: A = {1, 2, 3} och B = {2, 3, 4}. Unionen blir A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Elementen 2 och 3 står inte två gånger i den resulterande mängden, eftersom en mängd inte innehåller samma element flera gånger.

Fler egenskaper:

• A ∪ A = A: om vi tar unionen av två likadana mängder får vi samma mängd igen.
• A ∪ B = B ∪ A: unionen är kommutativ, ordningen spelar ingen roll.
• A ∪ ∅ = A: den tomma mängden har inga element, så det finns inget att lägga till.

Snitt av mängder

Snittet av två mängder A och B är en ny mängd som innehåller de element som de två mängderna har gemensamt. Mer precist innehåller den nya mängden de element som tillhör A och samtidigt tillhör B. Snittet betecknas med symbolen ∩. Definition:

$$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$$

Exempel: A = {1, 3, 5, 7, 9} och B = {4, 5, 6, 7}. Snittet är A ∩ B = {5, 7}. Ett exempel till: A = {a, b, c, d, e} och B = {f, g, h, i, j}. Snittet är A ∩ B = ∅. De här mängderna har inget gemensamt element, så snittet är den tomma mängden.

Fler egenskaper:

• A ∩ A = A: snittet av två likadana mängder är samma mängd igen.
• A ∩ B = B ∩ A: snittet är kommutativt, ordningen spelar ingen roll.
• A ∩ ∅ = ∅: den tomma mängden har inga element, så den har säkert inget element gemensamt med mängden A.

Differens av mängder

Differensen av mängder skriver vi med det vanliga minustecknet − eller, bättre, med ett snett minustecken ∖. Med differensen av två mängder A och B menar vi den mängd som innehåller alla element från A men inget element från B. Du tittar helt enkelt på vilka element den första mängden har gemensamt med den andra, och de tar du sedan bort. Definition:

$$A\setminus B=\{x\in A\mid x\notin B\}$$

Exempel: A = {1, 2, 3, 4, 5} och B = {4, 5, 6, 7, 8}. Differensen blir då A ∖ B = {1, 2, 3}. Det är de element som blir kvar när vi tar bort alla element som finns i mängden B från mängden A. Ett exempel till: A = {a, b, d, e}. Differensen A ∖ A = ∅.

Fler egenskaper:

• A ∖ A = ∅: på samma sätt som vi får noll när vi subtraherar två lika stora tal (till exempel 5 − 5 = 0) får vi den tomma mängden när vi tar differensen av två lika mängder.
• A ∖ ∅ = A: den tomma mängden har inga element, så vi kan inte ta bort något element från mängden A.

Komplement till en mängd

Komplementet till en mängd A betecknas på många sätt, men kanske oftast med prim A' eller med överstreck: $\bar{A}$. För enkelhetens skull använder jag prim. För att beräkna komplementet till mängden A behöver vi veta i vilken mängd vi tar komplementet. Komplementet består nämligen av alla element som inte finns i mängden A, så det är på sätt och vis motsatsen till mängden A.

Om vi har M = {1, 2, 3, …, 9, 10} som huvudmängd (universum) är komplementet till mängden A = {2, 4, 6, 8, 10} i M mängden A' = {1, 3, 5, 7, 9}. Den innehåller alla element i M som inte finns i A. Vi kan säga att A' i M är lika med M ∖ A.

Om vi tar heltalen som huvudmängd är komplementet till mängden av jämna tal de udda talen. Komplementet till mängden A = {1, 2, 3, 4} blir mängden A' = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

För komplementet gäller att om vi tar det två gånger får vi tillbaka den ursprungliga mängden. Till exempel bland heltalen: komplementet till de jämna talen är de udda talen. Och komplementet till de udda talen är i sin tur de jämna talen. Alltså gäller A = A'' (komplementet till komplementet till A).