Definitionsmängd för en funktion

Definitionsmängden för en funktion är alla tillåtna värden som vi kan sätta in som argument x i funktionen f(x) så att funktionen blir meningsfull.

Vad är en funktions definitionsmängd?

Ett enkelt exempel är funktionen f(x) = 1/x. Definitionsmängden är mängden av alla tillåtna värden som ger ett giltigt uttryck när vi sätter in dem i funktionen 1/x.

För att veta vad ett ”giltigt uttryck” är måste vi känna till funktioners och räknesätts egenskaper. I vår funktion dividerar vi med variabeln x, eftersom x står i nämnaren. Vilka tal kan vi dividera med? Alla utom noll. Vi kan inte dividera med noll, och därför får noll inte stå i nämnaren. Någon annan begränsning har division inte.

Därför kan vi sätta in vilket reellt tal som helst utom noll som x. Definitionsmängden är alltså D_f = ℝ ∖ {0}. Definitionsmängden skriver vi vanligen med bokstaven D och funktionens namn som index.

Nu har vi beräknat den största möjliga definitionsmängden. Eftersom vi har definierat definitionsmängden som mängden av värden som vi får sätta in som x, gäller att varje delmängd av definitionsmängden också är en definitionsmängd. Ibland kan det vara bra att begränsa funktionen till vissa x. I talföljder begränsar vi oss till exempel till de positiva heltalen, och i trigonometri räknar vi ofta bara i intervallet [0, 2π].

Om du får en uppgift där du ska beräkna en funktions definitionsmängd antar man dock oftast att du ska bestämma den största möjliga definitionsmängden.

Definitionsmängden kan vi också läsa av i funktionens graf. Som exempel tar vi grafen till den förra funktionen f(x) = 1/x.

Om du projicerar grafen på x-axeln får du definitionsmängden. Om x inte tillhör definitionsmängden skär en linje som är vinkelrät mot x-axeln genom just den punkten ingen punkt på grafen. Vi ser att bara noll uppfyller detta villkor — ovanför eller under noll finns ingen punkt på funktionens graf. Alla andra värden har en sådan punkt.

Beräkning av definitionsmängden

För att beräkna definitionsmängden för en sammansatt funktion måste du känna till definitionsmängderna för alla funktioner som den är sammansatt av. Annars går det inte. Om jag bad dig beräkna definitionsmängden för funktionen f(x) = a(x) + b(x) skulle du inte komma någon vart, eftersom du inte vet hur funktionerna a och b är definierade. Här är definitionsmängderna för några elementära funktioner:

• Logaritmen har D_f = ]0, +∞[.
• Kvadratroten har D_f = [0, +∞[.
• Tangens har D_f = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• Cotangens har D_f = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• Exponentialfunktionen har D_f = ℝ.
• Linjära funktioner och andragradsfunktioner har D_f = ℝ.

Om du bara har en enda funktion är det mycket enkelt. Vi tar reda på vilken definitionsmängd funktionen har, tittar på argumentet och sätter sedan in det i en lämplig ekvation eller olikhet. Ett exempel — bestäm definitionsmängden för funktionen lg(3x + 2). Logaritmens argument måste vara positivt, så det måste gälla att 3x + 2 > 0. Det är en linjär olikhet som vi enkelt löser:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Definitionsmängden består av alla x som uppfyller olikheten, så D_f = ]−2/3, +∞[.

Beräkna definitionsmängden för $\sqrt{2x+8}$.

Under rottecknet får det inte stå ett negativt tal, så vi löser olikheten 2x + 8 ≥ 0, vilket ger:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Alltså är D_f = [−4, +∞[.

Beräkna definitionsmängden för 1/x².

I nämnaren får det inte stå noll, så vi löser ekvationen x² ≠ 0. Det gäller när x ≠ 0, alltså är D_f = ℝ ∖ {0}.

Sönderdelning av sammansatta funktioner

För sammansatta funktioner är situationen något mer komplicerad, eftersom flera funktioner påverkar varandra och efter hand krymper definitionsmängden. Ta till exempel den här funktionen:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Här måste två villkor vara uppfyllda. Uttrycket under rottecknet måste vara större än eller lika med noll, det får inte vara negativt. Alltså x ≥ 0. Men roten står i nämnaren, så roten får inte bli noll, eftersom bråket då inte skulle ha någon mening. Därför skärper vi det förra villkoret till x > 0.

På samma sätt går vi tillväga i andra exempel. Det viktiga är att bestämma ordningen på de nästlade funktionerna — vi måste ta reda på vilken funktion som är inre och vilken som är yttre. I det förra exemplet var det tydligt — den inre funktionen var kvadratroten och den yttre var bråket. Om vi skulle räkna ut uttrycket för hand skulle vi först ta roten ur argumentet x och därefter beräkna bråket. Det är en ganska bra tumregel — den innersta funktionen är den som du skulle börja räkna med om du räknade för hand. Ett exempel till:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\tan (x)){)}^3}$$

Nu kan vi i stället gå motsatt väg och leta efter de yttre funktionerna. En yttre funktion ”omsluter” de inre funktionerna. Här omsluter femte roten helt tydligt alla övriga funktioner. Vidare omsluter tredje potensen resultatet av logaritmen, logaritmen omsluter tangens och till sist omsluter tangens variabeln x. Enkelt. Med den äldre metoden går det till så här: när vi känner till värdet på x använder vi det först i tangens. Tangens är alltså den innersta funktionen. Resultatet sätter vi in i logaritmen — den är alltså den näst innersta funktionen. Resultatet sätter vi sedan in i potensen och till sist tar vi roten ur det.

Dela upp den sammansatta funktionen:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Vi börjar med den yttre funktionen. Det är sinus. Därnäst kommer ett bråk, sedan logaritmen, sedan exponentialfunktionen (tänk dig substitutionen 10^a) och till sist den linjära funktionen 2x + 3.

Dela upp den sammansatta funktionen:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Den yttre funktionen är exponentialfunktionen 2^a. Sedan kommer ett bråk, därefter kvadratroten i bråkets nämnare och till sist den linjära funktionen 3x.

Definitionsmängden för sammansatta funktioner

Om du kan dela upp funktioner i yttre och inre funktioner är det inget problem att bestämma definitionsmängden. Vi visar det direkt på ett exempel:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Vi börjar med bråket. För det måste nämnaren vara skild från noll. Vi skriver upp det:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

Av egenskaperna hos sinusfunktionen vet vi att den antar värdet 1 i punkten x = π/2. Eftersom den är periodisk får vi mängden M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Det är mängden av de värden för vilka nämnaren blir noll. Dessa x kan vi inte sätta in i vår funktion.

Men det är inte allt, vi måste också titta på sinusfunktionens definitionsmängd. Den är som tur är ℝ, så den begränsar oss inte. Begränsningen kommer bara från bråkets nämnare. Alltså D_f = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.