Vad är en funktion

Funktioner är helt grundläggande i matematiken, och du bör förstå dem ordentligt. Matematiken är full av funktioner, och nästan varje symbol du känner igen från grundskolan är i själva verket en funktion.

Funktionen som liknelse

Har du någon gång sett en kaffeautomat? Vad är typiskt för en sådan automat? Du stoppar i några mynt, och automaten ger dig en kopp kaffe. Om du stoppar i fler mynt får du ett bättre kaffe.

En funktion är en sorts matematisk kaffeautomat. Du stoppar in något i funktionen, indata (mynten), och funktionen ger tillbaka något, utdata (kaffet). Det är hela grundprincipen.

Funktionens uppgift är att ta emot något, ett tal, göra något med talet på insidan, ändra det och sedan lämna ut det nya talet.

Grundläggande begrepp

Varje funktion har ett namn som betecknar den. Det vanligaste namnet på en funktion är bokstaven ”f”. För att funktionen ska fungera behöver vi en regel som talar om hur den ska arbeta, alltså hur automaten ska brygga kaffet. Till att börja med kan vi föreställa oss funktionen som en tabell med två kolumner. I den första kolumnen står indata (i automaten är det myntens värde) och i den andra funktionens utdata (kaffet).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{indata}& \text{utdata}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Vi ser att utdata alltid är dubbelt så stort som indata, men det behöver inte alls vara regeln. Vi kan också ha en tabell som den här:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{indata}& \text{utdata}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Till en början räcker det med den första, regelbundna tabellen. Vi kan säga att den här tabellen definierar funktionen f. Vad gör funktionen? Vi stoppar in ett värde, funktionen letar upp det i tabellens första kolumn och returnerar utdata på samma rad. Om vi söker funktionens utdata för talet tre skulle vi skriva det så här:

$$f(3)=6$$

Vi hittade raden där indata var tre och utdata på samma rad var sex. På samma sätt gäller f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 och f(5) = 10. Att skriva alla funktioner som tabeller kan se överskådligt ut för några få tal, men när vi arbetar med fler tal är det mycket opraktiskt. Därför behöver vi ett annat sätt att skriva. Vi kan ange funktionen med ett funktionsuttryck. I vår tabell gällde att utdata är dubbelt så stort som indata. Det kan vi skriva med ett funktionsuttryck så här:

$$f(x)=2\cdot x$$

Det här är en enkel linjär funktion, men det spelar ingen roll just nu. Vad säger uttrycket oss? Bokstaven f är funktionens namn, det vet vi redan. Uttrycket inom parentesen, alltså bokstaven x, betecknar funktionens parameter. I liknelsen med automaten motsvarar den ”värdet på de mynt vi stoppar i”. Parametern är en variabel där det värde vi skickar in lagras. Om vi stoppade tjugo kronor i automaten (funktionen) skulle x = 20 gälla i funktionen. Sedan arbetar automaten, eller funktionen, vidare med det värdet på sitt eget sätt.

Efter parametern kommer ett likhetstecken, och efter likhetstecknet själva uttrycket, som anger vad som ska göras med värdet x. Vi ser att funktionen multiplicerar det värde x som den får med två. Det är allt.

Fler exempel på funktioner

På den här högra sidan kan nästan vilket matematiskt uttryck som helst stå. Där kan också andra funktioner ingå, och där kan finnas villkor som preciserar definitionen. Vi skulle till exempel kunna definiera en funktion med ord så här: ”om indata är ett jämnt tal, returnera noll, och om indata är ett udda tal, returnera ett”. Det blir en funktion som bara returnerar ettor och nollor, men en funktion är det.

Det viktiga är att förstå att en funktion kan definieras nästan hur som helst. Även funktioner har förstås sina regler, men de är inte så viktiga just nu, och en av dem nämns dessutom i nästa avsnitt. Definitionen av en funktion behöver inte verka meningsfull vid första anblicken och behöver inte ha någon ordning. En funktion kan gott returnera det dubbla värdet för alla indata utom sju. För sju returnerar den nio. Det är nog ganska meningslöst, men även det är en funktion.

Även en stor del av det vi gör utanför matematiken kan kallas funktioner. Om du till exempel räknar ut längden på ordet ”tiger” kan vi säga att du har anropat en funktion som heter ”ordets längd” och skickat in ordet ”tiger” som argument. Funktionen räknade bokstäverna i ordet och returnerade talet fem.

Behöver du räkna ut hur mycket ränta du kommer att betala med ränta på ränta på ett lån eller på ett bolån? Det kan också en funktion sköta. Du definierar helt enkelt en funktion som räknar ut räntans storlek efter till exempel tio år. Behöver du veta hur många kilometer bilen kan köra på ett visst antal liter bensin? Definiera en funktion! Om bilen i genomsnitt kör till exempel 11 kilometer på en liter bensin, kan vi definiera funktionen som räknar ut hur långt vi kommer så här:

$$\text{sträcka}(x)=11\cdot x$$

Om vi bara har 17 liter bensin kvar räknar vi ut avståndet genom att anropa funktionen så här:

$$\text{sträcka}(17)=11\cdot 17=187$$

En funktion är helt enkelt allt som ger oss ett tal för ett visst indatavärde. Returnera fågelvägen från Lund till någon annan stad, returnera längden på den längsta låten på ett visst album, returnera antalet hårstrån på en given persons huvud, returnera antalet ben hos ett givet djur osv.

Funktionens grundegenskap

Ett oerhört viktigt villkor för en funktion är, om vi går tillbaka till tabellen, att inget värde i den första kolumnen med indata får förekomma två gånger. Om tabellen såg ut så här:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{indata}& \text{utdata}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… skulle vi inte kunna säga vad funktionen ska returnera om vi stoppar in ettan:

$$f(1)=?$$

En funktion måste vara entydigt definierad. Det kan inte hända att den för samma indata kan ge två olika resultat. Det går helt enkelt inte. Vi kräver att en funktion med samma indata alltid ger samma utdata. Observera att kravet inte gäller den andra kolumnen, utdata. Utdata får gärna vara lika, det gör ingenting. Den här tabellen skulle vara giltig:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{indata}& \text{utdata}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Att beräkna en funktion

Nu vet vi vad de olika delarna av en funktion heter och ungefär hur vi definierar en funktion. Nu ska vi steg för steg förklara hur en funktion beräknas. Vi har alltså funktionen f(x) = 2x. Vad händer om vi stoppar in en trea? Att stoppa in en trea i funktionen betyder för oss att vi sätter in talet tre i stället för funktionens parameter. Funktionens argument är trean, så vi ersätter alla x med en trea:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Vi ser redan att funktionen ger en sexa, precis som tabellen nyss. Tabellen var dock begränsad till bara fem tal, medan vår nya definition klarar fler tal:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Det här förfarandet, där vi sätter in konkreta värden för variabeln x, kallas att beräkna funktionen, att anropa funktionen eller att tillämpa funktionen. Om vi säger att vi ”anropar funktionen f med argumentet 5” vill vi alltså räkna ut värdet f(5), vilket i vårt fall blir f(5) = 2 · 5 = 10.

Ytterligare två begrepp att komma ihåg. Det vi anropar funktionen med (det vi sätter in för x) kallas funktionens argument. Det kan verka lite förvirrande, men om vi har funktionen f(x) och anropar den med värdet tre, f(3), så är x funktionens parameter och 3 funktionens argument. Argumentet är själva värdet som vi anropar funktionen med. Parametern är den ursprungliga variabeln som funktionen definieras med. Det är snarare en teknisk detalj.

Nästa begrepp är funktionsvärde, alltså det värde som funktionen returnerar som utdata. Den förra funktionen returnerade talet sex när vi anropade den med talet tre. Talet sex är alltså funktionsvärdet i det här fallet. Med en hel mening skulle vi säga ”funktionen f har funktionsvärdet sex i punkten tre”. Med ”punkt” menar man i det här sammanhanget oftast funktionens argument.

Funktioner i vanlig matematik

I vanlig matematik finns en mängd funktioner som har ett mycket speciellt skrivsätt, så att det inte ens ser ut som att det är funktioner. Absolutbelopp är till exempel inget annat än en funktion. Den tar emot ett tal som indata och returnerar antingen samma tal eller talet med motsatt tecken.

Du känner säkert igen symbolen för kvadratrot: $\sqrt{}$. Även det är en funktion. Den tar emot ett argument som indata och returnerar kvadratroten ur det. På samma sätt är kvadraten, den andra potensen x², en funktion. Den tar emot ett tal och returnerar talets kvadrat.

Det är ganska viktigt att inse att de flesta sådana magiska symboler i själva verket inte är något mer komplicerat än någon vanlig funktion. Titta inte på symbolen $\sqrt{}$ som en konstig krokig figur, utan titta på den som en funktion.

Ett uttryck med en massa matematiska symboler kan nämligen vara förvirrande, särskilt för en nybörjare som inte begriper hälften av symbolerna, trots att det helt enkelt rör sig om några sammansatta funktioner. Låt oss ta det här exemplet som hjälp:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

När en matematisk lekman ser det här kliar han sig i huvudet och har ingen större aning om vad han ska göra. Ändå ingår det i uttrycket fyra ganska enkla funktioner som tillämpas efter varandra på variabeln x. Man kan skriva ut det med namngivna och nästlade funktioner så här:

$$\text{fakultet}(\text{kvadratrot}(\text{abs}(\text{kvadrat}(x))))$$

Skrivsättet är längre, men för den som inte kan symbolerna är det nog tydligare. Samtidigt är det också helt klart i vilken ordning funktionerna anropas.

Sammanfattning av hur funktioner skrivs

En funktion har ett namn, som i princip kan vara vad som helst. Oftast kallas en allmän funktion f. Varje funktion har ett bestämt antal parametrar, som vi skriver inom runda parenteser efter namnet. Om vår funktion f hade två parametrar skulle vi skriva det så här: f(x, y) eller f(a, b). Hur parametrarna namnges spelar i allmänhet ingen roll.

Vissa ofta använda funktioner har en egen symbol, till exempel har kvadratroten symbolen $\sqrt{}$. Vidare är sin eller sin(x) funktionen sinus, |x| är funktionen absolutbelopp och x! är funktionen fakultet.

Om en funktion har en parameter utelämnar vi ibland parenteserna, vilket ibland gör skrivsättet tydligare och ibland inte. Alltså är sin(x) och sin x båda giltiga skrivsätt för funktionen sinus.

När man talar om funktionens parameter menar man bokstaven x i skrivsättet f(x). Argumentet är då det värde som vi anropar funktionen med, det som vi sätter in för x. Ofta flyter de två begreppen ihop. Funktionsvärdet är det värde vi får när vi har anropat funktionen. Vi skriver det helt enkelt som funktionens namn, parenteser och argumentet. Om vi har funktionen f(x) = 2x och sätter in argumentet x = 4 för parametern x, säger vi att vi har anropat funktionen med argumentet x = 4 och att funktionsvärdet f(4) blir åtta.