Jämna och udda funktioner

För funktioner kan vi bestämma deras symmetri, alltså om funktionen är jämn eller udda. I extremfallet kan en funktion vara både jämn och udda, men oftast är den varken jämn eller udda.

Jämna funktioner

En funktion är jämn om den uppfyller en enkel regel — när du sätter in ett element x och därefter det motsatta talet −x måste funktionen ge samma värde. En typisk jämn funktion är f(x) = x². Om du anropar den med argumenten 6 och −6 får du: f(6) = 36 och f(−6) = 36. Argumenten skilde sig bara i tecknet, så resultatet är detsamma.

En formell definition kan se ut så här. Om funktionen f är jämn måste den uppfylla

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(x)=f(-x)$$

För alla x i funktionens definitionsmängd måste det gälla att funktionsvärdena är lika även när vi anropar funktionen med det motsatta argumentet, dvs. −x.

Hur syns en jämn funktion i grafen? Om vi sätter in x och −x får vi samma y. Tänk efter: x och −x ligger lika långt från origo på x-axeln och har samma y-koordinat. Det betyder att grafen till en jämn funktion är symmetrisk kring y-axeln. Som illustration grafen till funktionen x²:

Av de vanliga funktionerna är följande jämna: cosinus och funktioner på formen f(x) = x^a där a är ett jämnt tal. Av en udda funktion gör absolutbelopp en jämn funktion, till exempel f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Udda funktioner

En udda funktion måste uppfylla liknande regler som en jämn funktion. Funktionen f är udda om den uppfyller den här regeln:

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(-x)=-f(x)$$

I praktiken betyder det att om punkten (a, b) ligger på en udda funktions graf, så måste också punkten med motsatta koordinater ligga på den, dvs. (−a, −b). Ett exempel på en udda funktion är f(x) = x³. Om vi sätter in tvåan som x får vi:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

I det andra uttrycket får vi

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Hur syns det i grafen? Om punkten (a, b) ska ligga på grafen och samtidigt (−a, −b)? Om du ritar det ser du att en sådan graf är symmetrisk kring origo, dvs. punkten (0, 0). Grafen till funktionen f(x) = x³ visas i följande figur.

Av de vanliga funktionerna är följande udda: f(x) = x^a där a är udda, och f(x) = kx där k är ett godtyckligt reellt tal (en linjär funktion utan konstantterm). Dessutom f(x) = a/x och sinus.

Kontroll av jämnhet

Hur kontrollerar vi om en funktion är jämn? Vi måste använda definitionen. Ta till exempel den bekanta funktionen f(x) = x². Definitionen säger att f(x) = f(−x). Om funktionen är jämn måste den uppfylla:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Minus x i kvadrat kan vi enligt reglerna för potensräkning skriva om så här:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Minus ett i kvadrat är ett, så vi får bara x² tillbaka.

$$x^2=1\cdot x^2$$

Är följande funktion jämn?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Vi sätter in i definitionen:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Dessa bråk kan vi skriva om så att vi i stället för att ha absolutbeloppet över hela bråket flyttar det till täljaren och nämnaren.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Vi förenklar det andra bråkets nämnare, eftersom det säkert gäller att |x| = |−x|, enligt definitionen av absolutbelopp.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Nu får vi likhet.

Kontroll av udda funktioner

Hur kontrollerar vi om en funktion är udda? Vi måste återigen använda definitionen. Den säger att funktionen f är udda om

$$f(-x)=-f(x)$$

Vi börjar med funktionen f(x) = x³. Vi sätter in i definitionen:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Vänsterledet kan vi skriva om på samma sätt som i förra exemplet:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Minus ett upphöjt till tre är minus ett:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Vi har alltså likhet:

$$-x^3=-x^3$$

Funktionen är udda.

Är den givna funktionen udda?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Vi sätter in i definitionen:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Det finns inte mycket att förenkla här, minustecknet i det första bråket bryter vi helt enkelt ut framför hela bråket, så vi får likheten:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Funktionen är udda.

Varken jämn eller udda

En funktion behöver varken vara jämn eller udda. De flesta funktioner är förmodligen sådana. Ett exempel är den linjära funktionen f(x) = x + 1. Vi försöker sätta in i definitionen av jämnhet:

$$x+1=-x+1$$

Vi löser ut x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

Likheten gäller inte för alla x, utan bara för några, så funktionen är inte jämn. Nu udda:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Den här ekvationen saknar till och med lösning, så funktionen är inte udda.

Både jämn och udda

Finns det en funktion som är både jämn och udda? Finns det en graf som är symmetrisk både kring y-axeln och kring origo? Svaret är ja. Det finns exakt en funktion som är både jämn och udda, och det är den konstanta funktionen f(x) = 0. Funktionens graf följer precis x-axeln.

Anmärkning: egentligen finns det oändligt många sådana funktioner, eftersom vi kan definiera en funktion g(x) som har samma funktionsuttryck men är definierad på en annan definitionsmängd. Vi kan till exempel ha funktionen g(x) = 0 med de naturliga talen som definitionsmängd. Den funktionen skiljer sig från funktionen f(x), som är definierad över de reella talen. Funktionsuttrycket är dock alltid detsamma.

Sammansatta funktioner

En intressant situation uppstår om vi har två funktioner som är udda eller jämna och försöker addera dem, multiplicera dem osv. Summan av två jämna funktioner blir till exempel åter en jämn funktion. Det finns många regler och kombinationer.