Gerade und ungerade Funktion

Bei Funktionen können wir ihre Symmetrie bestimmen, also feststellen, ob die Funktion gerade oder ungerade ist. Im Grenzfall kann sie gleichzeitig gerade und ungerade sein, meistens ist sie aber weder gerade noch ungerade.

Gerade Funktion

Eine Funktion ist gerade, wenn sie eine einfache Regel erfüllt – wenn du in die Funktion ein Element x und danach die Gegenzahl −x einsetzt, muss die Funktion denselben Funktionswert liefern. Eine typische gerade Funktion ist die Funktion f(x) = x². Rufst du sie mit den Argumenten 6 und −6 auf, erhältst du: f(6) = 36 und f(−6) = 36. Das Argument unterschied sich nur im Vorzeichen, das Ergebnis ist also gleich.

Die formale Definition könnte so aussehen. Ist die Funktion f gerade, dann muss gelten

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(x)=f(-x)$$

Für alle x aus der Definitionsmenge der Funktion muss gelten: Auch wenn wir die Funktion mit der Gegenzahl, also −x, aufrufen, müssen die Funktionswerte gleich sein.

Wie zeigt sich eine gerade Funktion im Graphen? Setzen wir in die Funktion x und −x ein, erhalten wir dasselbe y. Wenn wir darüber nachdenken: x und −x haben auf der x-Achse den gleichen Abstand vom Ursprung und dieselbe y-Koordinate. Das bedeutet, dass der Graph einer geraden Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Zur Veranschaulichung der Graph der Funktion x²:

Von den klassischen Funktionen sind gerade: der Kosinus und Funktionen der Form f(x) = x^a, wobei a eine gerade Zahl ist. Aus einer ursprünglich ungeraden Funktion macht der Betrag eine gerade Funktion, zum Beispiel f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Ungerade Funktion

Eine ungerade Funktion muss ähnliche Regeln erfüllen wie eine gerade Funktion. Die Funktion f ist also ungerade, wenn sie diese Regel erfüllt:

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(-x)=-f(x)$$

In der Praxis bedeutet das: Gehört zu einer ungeraden Funktion der Punkt (a ∣ b), dann muss zu ihr auch der Punkt mit den entgegengesetzten Koordinaten gehören, also (−a ∣ −b). Ein Beispiel für eine ungerade Funktion ist die Funktion f(x) = x³. Setzen wir für x die Zwei ein, erhalten wir:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

Im zweiten Term würden wir erhalten

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Wie zeigt sich das im Graphen, wenn zur Funktion der Punkt (a ∣ b) und gleichzeitig (−a ∣ −b) gehören soll? Wenn du es zeichnest, stellst du fest, dass ein solcher Graph punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems ist, also zum Punkt (0 ∣ 0). Der Graph der Funktion f(x) = x³ ist im folgenden Bild dargestellt.

Von den klassischen Funktionen sind ungerade: f(x) = x^a, wobei a ungerade ist, und f(x) = ax, wobei a eine beliebige reelle Zahl ist (es handelt sich also um eine lineare Funktion ohne absolutes Glied). Außerdem noch f(x) = a/x oder der Sinus.

Überprüfung der Geradheit

Wie überprüfen wir, ob eine Funktion gerade ist? Wir müssen es nach der Definition tun. Nehmen wir zum Beispiel die bekannte Funktion f(x) = x². Wir überprüfen sie nach der Definition. Diese sagt uns, dass f(x) = f(−x) gilt. Ist die Funktion gerade, muss sie erfüllen:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Minus x zum Quadrat können wir nach den Regeln für das Rechnen mit Potenzen so umschreiben:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Minus eins zum Quadrat ist eins, wir erhalten also wieder nur x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

Ist die folgende Funktion gerade?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Wir setzen in die Definition ein:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Diese Brüche können wir so umschreiben, dass wir den Betrag nicht mehr auf den ganzen Bruch anwenden, sondern ihn in den Zähler und den Nenner verschieben.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Den Nenner des zweiten Bruchs formen wir um, denn sicher gilt |x| = |−x|, nach der Definition des Betrags.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Jetzt erhalten wir eine Gleichheit.

Überprüfung der Ungeradheit

Wie überprüfen wir, ob eine Funktion ungerade ist? Wieder müssen wir es nach der Definition tun. Diese sagt, dass die Funktion f ungerade ist, wenn

$$f(-x)=-f(x)$$

Beginnen wir mit der Funktion f(x) = x³. Wir setzen in die Definition ein:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Die linke Seite können wir genauso umschreiben wie im vorigen Beispiel:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Minus eins hoch drei ist minus eins:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Wir haben also eine Gleichheit:

$$-x^3=-x^3$$

Die Funktion ist ungerade.

Ist die gegebene Funktion ungerade?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Wir setzen in die Definition ein:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Hier gibt es nicht viel umzuformen, das Minuszeichen im ersten Bruch klammern wir einfach vor den ganzen Bruch aus, sodass wir die Gleichheit erhalten:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Die Funktion ist ungerade.

Weder gerade noch ungerade

Eine Funktion muss weder gerade noch ungerade sein. Solche Funktionen sind wohl sogar in der Mehrheit. Als Beispiel sei die lineare Funktion f(x) = x + 1 genannt. Wir versuchen, in die Definition der Geradheit einzusetzen:

$$x+1=-x+1$$

Wir lösen nach x auf:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

Die Gleichheit gilt nicht für alle x, sondern nur für manche, die Funktion ist also nicht gerade. Jetzt die Ungeradheit:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Diese Gleichung hat sogar nie eine Lösung, deshalb ist die Funktion nicht ungerade.

Gerade und ungerade zugleich

Gibt es eine Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade wäre? Gibt es einen Funktionsgraphen, der gleichzeitig achsensymmetrisch zur y-Achse und punktsymmetrisch zum Ursprung wäre? Die Antwort lautet: Ja. Es gibt genau eine Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, und das ist die konstante Funktion f(x) = 0. Der Graph der Funktion verläuft genau auf der x-Achse.

Anmerkung: In Wirklichkeit gibt es unendlich viele solche Funktionen, denn wir können eine Funktion g(x) definieren, die dieselbe Funktionsvorschrift hat, aber auf einer anderen Definitionsmenge definiert ist. Wir können zum Beispiel die Funktion g(x) = 0 haben, deren Definitionsmenge nur die natürlichen Zahlen sind. Diese Funktion unterscheidet sich von der Funktion f(x), die über den reellen Zahlen definiert ist. Die Funktionsvorschrift ist aber immer dieselbe.

Summe und Produkt von Funktionen

Eine interessante Situation entsteht, wenn wir zwei Funktionen haben, die ungerade oder gerade sind, und versuchen, sie zu addieren, zu multiplizieren usw. Zum Beispiel ergibt die Addition zweier gerader Funktionen wieder eine gerade Funktion. Regeln und Kombinationen gibt es eine ganze Menge.