Parillinen ja pariton funktio

Funktioista voi määrittää niiden pariteetin eli selvittää, onko funktio parillinen vai pariton. Ääritapauksessa funktio voi olla sekä parillinen että pariton, mutta yleensä se ei ole kumpaakaan.

Parillisuus

Funktio on parillinen, jos se toteuttaa yksinkertaisen säännön: kun funktioon syötetään alkio x ja sen jälkeen vastaluku −x, funktion on palautettava sama arvo. Tyypillinen parillinen funktio on f(x) = x². Kun sitä kutsutaan argumenteilla 6 ja −6, saadaan f(6) = 36 ja f(−6) = 36. Argumentit erosivat vain etumerkiltään, joten tulos on sama.

Muodollinen määritelmä voisi olla tällainen. Jos funktio f on parillinen, sen täytyy toteuttaa ehto

$$f(x)=f(-x)$$

kaikilla funktion f määrittelyjoukkoon kuuluvilla luvuilla x.

Kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x funktion arvojen täytyy olla yhtä suuret myös silloin, kun funktiota kutsutaan vastaluvulla eli argumentilla −x.

Miten parillinen funktio näkyy kuvaajassa? Kun funktioon syötetään x ja −x, saadaan sama y. Kun asiaa miettii, luvut x ja −x ovat x-akselilla yhtä kaukana origosta ja niillä on sama y-koordinaatti. Se tarkoittaa, että parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen. Havainnollistuksena funktion x² kuvaaja:

Tavallisista funktioista parillisia ovat kosini ja muotoa f(x) = x^a olevat funktiot, joissa a on parillinen luku. Parittomasta funktiosta parillisen tekee itseisarvo, esimerkiksi f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Pariton funktio

Parittoman funktion täytyy toteuttaa samankaltaiset säännöt kuin parillisen. Funktio f on siis pariton, jos se toteuttaa tämän säännön:

$$f(-x)=-f(x)$$

kaikilla funktion f määrittelyjoukkoon kuuluvilla luvuilla x.

Käytännössä tämä tarkoittaa, että jos parittoman funktion kuvaajalla on piste (a, b), sillä täytyy olla myös piste, jonka koordinaatit ovat vastaluvut, eli (−a, −b). Esimerkki parittomasta funktiosta on funktio f(x) = x³. Kun x:n paikalle sijoitetaan kaksi, saadaan:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

Toisessa lausekkeessa saataisiin

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Miten tämä näkyy kuvaajassa? Jos funktion kuvaajalla on oltava piste (a, b) ja samalla piste (−a, −b), huomaat piirtämällä, että kuvaaja on symmetrinen koordinaatiston origon eli pisteen (0, 0) suhteen. Funktion f(x) = x³ kuvaaja on seuraavassa kuvassa.

Tavallisista funktioista parittomia ovat f(x) = x^a, kun a on pariton, ja f(x) = ax, kun a on mikä tahansa reaaliluku (kyseessä on siis lineaarinen funktio ilman vakiotermiä). Lisäksi parittomia ovat f(x) = a/x ja sini.

Parillisuuden tarkistaminen

Miten tarkistetaan, onko funktio parillinen? Määritelmän avulla. Otetaan esimerkiksi tuttu funktio f(x) = x². Määritelmän mukaan f(x) = f(−x). Jos funktio on parillinen, sen täytyy toteuttaa:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Luvun −x neliö voidaan potenssien laskusääntöjen mukaan kirjoittaa auki näin:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Miinus yhden neliö on yksi, joten saadaan takaisin pelkkä x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

Onko seuraava funktio parillinen?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Sijoitetaan määritelmään:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Nämä murtoluvut voidaan muokata niin, että sen sijaan että itseisarvo olisi koko murtoluvun ympärillä, se siirretään osoittajaan ja nimittäjään.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Muokataan toisen murtoluvun nimittäjää, koska itseisarvon määritelmän mukaan varmasti pätee |x| = |−x|.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Nyt saadaan yhtäsuuruus.

Parittomuuden tarkistaminen

Miten tarkistetaan, onko funktio pariton? Taas määritelmän avulla. Sen mukaan funktio f on pariton, jos

$$f(-x)=-f(x)$$

Aloitetaan funktiolla f(x) = x³. Sijoitetaan määritelmään:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Vasen puoli voidaan kirjoittaa auki kuten edellisessä esimerkissä:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Miinus yhden kolmas potenssi on miinus yksi:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Saadaan siis yhtäsuuruus:

$$-x^3=-x^3$$

Funktio on pariton.

Onko annettu funktio pariton?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Sijoitetaan määritelmään:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Tässä ei ole paljon muokattavaa: ensimmäisen murtoluvun miinusmerkki vain otetaan koko murtoluvun eteen, ja saadaan yhtäsuuruus:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Funktio on pariton.

Ei parillinen eikä pariton

Funktion ei tarvitse olla parillinen eikä pariton. Tällaisia funktioita on luultavasti suurin osa. Esimerkkinä olkoon lineaarinen funktio f(x) = x + 1. Kokeillaan sijoittaa parillisuuden määritelmään:

$$x+1=-x+1$$

Ratkaistaan x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

yhtäsuuruus ei päde kaikilla x:n arvoilla vaan vain joillakin, joten funktio ei ole parillinen. Nyt parittomuus:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Tällä yhtälöllä ei ole koskaan ratkaisua, joten funktio ei ole pariton.

Sekä parillinen että pariton

Onko olemassa funktiota, joka olisi sekä parillinen että pariton? Onko olemassa funktion kuvaaja, joka olisi symmetrinen sekä y-akselin että origon suhteen? Vastaus on kyllä. On olemassa täsmälleen yksi funktio, joka on sekä parillinen että pariton, ja se on vakiofunktio f(x) = 0. Funktion kuvaaja yhtyy täsmälleen x-akseliin.

Huomautus: itse asiassa tällaisia funktioita on äärettömän monta, koska voidaan määritellä funktio g(x) = 0, jolla on sama lauseke mutta eri määrittelyjoukko. Esimerkiksi funktion g(x) = 0 määrittelyjoukko voi olla pelkät luonnolliset luvut. Tämä funktio poikkeaa funktiosta f(x), joka on määritelty reaaliluvuilla. Lauseke on kuitenkin aina sama.

Funktioiden yhdistelmät

Mielenkiintoinen tilanne syntyy, kun on kaksi funktiota, jotka ovat parittomia tai parillisia, ja niitä yritetään laskea yhteen, kertoa keskenään jne. Esimerkiksi kahden parillisen funktion summa on jälleen parillinen funktio. Sääntöjä ja yhdistelmiä on paljon.