Settore circolare

Il settore circolare è una parte di cerchio che sembra una fetta di pizza o di torta. Si ottiene con due tagli che vanno dal centro fino al bordo. Il settore è quindi delimitato da due raggi e da un pezzo di circonferenza tra di essi.

In rosso è colorato il settore vero e proprio, di cui calcoleremo l’area. I segmenti neri sono i due raggi r, cioè due tagli di coltello. In arancione è indicato l’angolo α formato dai raggi. Si chiama angolo al centro, perché ha il vertice nel centro del cerchio. In blu c’è l’arco l, il pezzo di circonferenza che delimita il settore all’esterno – nella pizza è il cornicione.

Formule per il settore

Se cerchi solo la formula, l’area A di un settore circolare di raggio r e angolo al centro α in gradi si calcola come

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

La lunghezza l dell’arco dello stesso settore si calcola come

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Per esempio, un settore con raggio r = 6 e angolo al centro α = 60° ha area

$$A=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

e il suo arco è lungo

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Se non ti piace un risultato che contiene pi greco, puoi sostituirlo con il valore approssimato 3,14:

$$A\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Come ci siamo arrivati?

Il cerchio intero ha intorno al centro un angolo di 360°. Il settore è quindi la parte di cerchio che corrisponde alla parte di 360° occupata dal suo angolo al centro. Un settore con angolo di 90° è un quarto di cerchio, perché 90° è un quarto di 360°. Un settore con angolo di 180° è mezzo cerchio, con angolo di 270° tre quarti e con angolo di 360° il cerchio intero:

Quale parte del cerchio intero occupa il settore ce lo dice quindi la frazione

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Per l’angolo di 90° si ottiene $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, per 60° invece $\frac{1}{6}$. L’area del settore è quindi la stessa parte dell’area dell’intero cerchio. L’area del cerchio è

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

quindi l’area del settore si ottiene moltiplicandola per questa frazione:

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot A_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Con l’arco funziona esattamente allo stesso modo. Quando l’angolo si apre, con esso cresce anche l’arco blu e, con un angolo di 360°, diventa l’intera circonferenza. L’arco è quindi la stessa parte della lunghezza della circonferenza che l’angolo α rappresenta rispetto a 360°. La lunghezza della circonferenza è

$$C=2\cdot \pi \cdot r,$$

e la lunghezza dell’arco è quindi

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot C=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Esempio: la pizza

Una pizza ha il diametro di 32 cm ed è tagliata in 8 spicchi uguali. Qual è l’area di uno spicchio?

Ogni spicchio è un settore circolare. Prima ci serve il suo angolo al centro. Otto spicchi uguali si dividono i 360° interi, quindi uno spicchio ha l’angolo

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Ora attenzione al trabocchetto: 32 cm è il diametro della pizza, non il raggio. Nella formula però serve il raggio, che è la metà del diametro, cioè r = 16 cm. Sostituiamo nella formula dell’area del settore:

$$A=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

La frazione si semplifica e diventa un ottavo, il che ha senso, perché lo spicchio è un ottavo della pizza. Eleviamo al quadrato il sedici:

$$A=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Dividiamo 256 per otto:

$$A=32\pi$$

E infine sostituiamo il valore approssimato di pi greco:

$$A\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Uno spicchio ha un’area di circa 100,48 centimetri quadrati. Se qualcuno sostituisse per errore nella formula l’intero diametro di 32 cm, otterrebbe uno spicchio quattro volte più grande, cioè più di quattrocento centimetri quadrati. Sarebbe una pizza che basterebbe a sfamare un’intera famiglia.

Esempio: l’orologio

La lancetta dei minuti di un orologio da parete è lunga 15 cm. Quanti centimetri percorre la sua punta in 20 minuti?

La punta della lancetta si muove lungo una circonferenza il cui raggio è la lunghezza della lancetta, quindi r = 15 cm. Il percorso che compie è l’arco blu l. Ci serve ancora l’angolo. In 60 minuti la lancetta fa un giro completo, cioè 360°. In 20 minuti ne fa un terzo:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Sostituiamo nella formula della lunghezza dell’arco:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

La frazione è un terzo e 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Sostituiamo il valore approssimato di pi greco:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

La punta della lancetta dei minuti in 20 minuti percorre circa 31,4 cm.

Quando conosciamo l’arco e cerchiamo l’angolo

A volte è il contrario: conosciamo il raggio e la lunghezza dell’arco e vogliamo trovare l’angolo al centro. Partiamo dalla formula della lunghezza dell’arco e ricaviamo l’angolo α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Esempio: Un’auto entra in una rotonda e percorre una circonferenza di raggio 10 metri. Prima di uscire dalla rotonda percorre 15,7 metri su di essa. Di quale angolo è ruotata intorno al centro della rotonda?

Sostituiamo l = 15,7, r = 10 e, al posto di pi greco, 3,14, perché la lunghezza dell’arco è data in modo approssimato:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Calcoliamo il denominatore:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Il numero 15,7 è esattamente un quarto di 62,8, quindi la frazione si semplifica:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

L’auto è ruotata di 90°, quindi ha percorso un quarto della rotonda. Possiamo verificare se abbiamo calcolato bene: un quarto della lunghezza della circonferenza è $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ metri. Torna.

Angolo in radianti

Se hai l’angolo espresso in radianti, le formule si semplificano. Il cerchio intero misura infatti 360° = 2π radianti, quindi la frazione che indica quale parte del cerchio occupa il settore è $\frac{\alpha }{2\pi }$. Dopo la sostituzione pi greco si semplifica:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$A=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Attenzione: in queste formule semplificate va messo l’angolo in radianti, non in gradi. Se ci sostituissi per esempio 45, otterresti un risultato senza senso.

Per esempio, lo spicchio di pizza dell’esempio precedente ha l’angolo di 45°, che è $\frac{\pi }{4}$ radianti. L’area dello spicchio è allora $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, proprio come prima.

Calcolatrice

Puoi calcolare l’area del settore e la lunghezza dell’arco anche qui. L’angolo si può inserire in gradi o in radianti e puoi cambiare l’unità di misura di ciascun campo.

Vedi anche

• Area del cerchio
• Lunghezza della circonferenza
• Circonferenza
• Misura in radianti di un angolo