Körcikk

A körcikk a körlapnak az a darabja, amely úgy néz ki, mint egy szelet pizza vagy torta. Két vágással kapjuk, amelyek a középpontból egészen a széléig vezetnek. A körcikket tehát két sugár és a köztük lévő körív határolja.

Pirossal a körcikk maga van kiszínezve, ennek a területét fogjuk kiszámítani. A fekete szakaszok a két r sugár, vagyis a két késvágás. Narancssárgával az α szög van jelölve, amelyet a sugarak zárnak be. Ezt középponti szögnek nevezzük, mert a csúcsa a kör középpontjában van. Kékkel az i ív van jelölve, a körvonalnak az a darabja, amely kívülről határolja a körcikket – a pizzánál ez a pereme.

A körcikk képletei

Ha csak a képletre van szükséged, akkor az r sugarú és α fokban megadott középponti szögű körcikk T területét így számítod ki:

$$T=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot r^2\pi$$

Ugyanennek a körcikknek az i ívhosszát így számítod ki:

$$i=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2r\pi$$

Például az r = 6 sugarú, α = 60° középponti szögű körcikk területe

$$T=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 6^2\pi =\frac{1}{6}\cdot 36\pi =6\pi$$

az íve pedig

$$i=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot 6\pi =\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

hosszú.

Ha nem tetszik az eredmény, amelyben a pi szerepel, behelyettesíthetsz helyette egy közelítő értéket, a 3,14-et:

$$T\approx 6\cdot 3,14=18,84,i\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Hogyan jutottunk ide?

A teljes körnek a középpontja körül 360°-os szöge van. A körcikk akkora része a körnek, amekkora része a középponti szöge a 360°-nak. A 90°-os körcikk a kör negyede, mert a 90° a 360° negyede. A 180°-os körcikk a kör fele, a 270°-os három negyede, a 360°-os pedig a teljes kör:

Hogy a körcikk a teljes kör mekkora részét teszi ki, azt tehát a

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}$$

tört mutatja meg. A 90°-os szögnél $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$ jön ki, a 60°-nál $\frac{1}{6}$. A körcikk területe tehát ugyanekkora része a teljes kör területének. A kör területe

$$T_{\circ }=r^2\pi ,$$

ezért a körcikk területét megkapjuk, ha ezt a törttel megszorozzuk:

$$T=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot T_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot r^2\pi$$

Az ívvel pontosan ugyanígy van. Ahogy a szög nyílik, vele együtt nő a kék ív is, és a 360°-os szögnél belőle a teljes körvonal lesz. Az ív ezért a kör kerületének ugyanakkora része, mint amekkora része az α szög a 360°-nak. A kör kerülete

$$K=2r\pi ,$$

az ív hossza tehát

$$i=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot K=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2r\pi$$

Példa: pizza

Egy pizza átmérője 32 cm, és 8 egyforma szeletre van vágva. Mekkora egy szelet területe?

Minden szelet egy körcikk. Először a középponti szögére van szükségünk. A nyolc egyforma szelet a teljes 360°-on osztozik, így egy szelet szöge

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Most vigyázz a csapdára: a 32 cm a pizza átmérője, nem a sugara. A képletbe viszont a sugár kerül, az pedig az átmérő fele, vagyis r = 16 cm. Behelyettesítünk a körcikk területének képletébe:

$$T=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot {16}^2\pi$$

A tört egynyolcadra egyszerűsödik, ami logikus, hiszen a szelet a pizza nyolcada. Négyzetre emeljük a tizenhatot:

$$T=\frac{1}{8}\cdot 256\pi$$

A 256-ot elosztjuk nyolccal:

$$T=32\pi$$

Végül behelyettesítjük a pi közelítő értékét:

$$T\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Egy szelet területe körülbelül 100,48 négyzetcentiméter. Ha valaki tévedésből a teljes 32 cm-es átmérőt helyettesítené be a képletbe, négyszer akkora szelet jönne ki neki, vagyis több mint négyszáz négyzetcentiméter. Ez egy olyan pizza lenne, amelytől az egész család jóllakna.

Példa: óra

A falióra percmutatója 15 cm hosszú. Hány centimétert tesz meg a hegye 20 perc alatt?

A mutató hegye egy körvonalon halad, amelynek sugara a mutató hossza, tehát r = 15 cm. Az út, amelyet megtesz, a kék i ív. Még a szögre van szükségünk. 60 perc alatt a mutató egy teljes kört tesz meg, vagyis 360°-ot. 20 perc alatt a kör harmadát teszi meg:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Behelyettesítünk az ívhossz képletébe:

$$i=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot 15\pi$$

A tört egyharmad, és 2 · 15 = 30:

$$i=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Behelyettesítjük a pi közelítő értékét:

$$i\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

A percmutató hegye 20 perc alatt körülbelül 31,4 cm utat tesz meg.

Ha az ívet ismerjük, és a szöget keressük

Néha fordítva áll a dolog: ismerjük a sugarat és az ív hosszát, és a középponti szöget szeretnénk megtudni. Az ívhossz képletéből indulunk ki, és ebből fejezzük ki az α szöget:

$$\begin{array}{rcl}i& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2r\pi /\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot i& =& \alpha \cdot 2r\pi /:(2r\pi )\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot i}{2r\pi }\end{array}$$

Példa: Egy autó behajt egy körforgalomba, és egy 10 méter sugarú körvonalon halad. Mielőtt újra kihajt a körforgalomból, 15,7 métert tesz meg rajta. Mekkora szöggel fordult el a körforgalom közepe körül?

Behelyettesítjük az i = 15,7, r = 10 értékeket, a pi helyére pedig 3,14-et, mert az ív hossza közelítőleg van megadva:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 10\cdot 3,14}$$

Összeszorozzuk a nevezőt:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

A 15,7 pontosan a negyede a 62,8-nak, ezért a tört egyszerűsödik:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Az autó 90°-kal fordult el, tehát a körforgalom negyedét kerülte meg. Ellenőrizhetjük, hogy jól számoltunk-e: a kerület negyede $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 10\cdot 3,14=15,7$ méter. Stimmel.

Szög ívmértékben

Ha a szög ívmértékben van megadva, a képletek leegyszerűsödnek. A teljes kör ugyanis 360° = 2π radián, így az a tört, amely megmondja, hogy a körcikk a kör mekkora részét teszi ki, $\frac{\alpha }{2\pi }$. A behelyettesítés után a pi kiesik:

$$i=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2r\pi =\alpha \cdot r$$

$$T=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot r^2\pi =\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Figyelem, ezekbe az egyszerűsített képletekbe a szöget radiánban kell behelyettesíteni, nem fokban. Ha például 45-öt helyettesítenél be, értelmetlen eredmény jönne ki.

Például a fenti példában szereplő pizzaszelet szöge 45°, ami $\frac{\pi }{4}$ radián. A szelet területe ekkor $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, ugyanúgy, mint az előbb.

Számológép

Az alábbi számológéppel kiszámolhatod a körcikk területét és az ívének hosszát is. A szög fokban és radiánban is megadható, a mértékegységet minden mezőnél át lehet kapcsolni.

Lásd még

• Kör területe
• A kör kerülete
• Kör
• A szög ívmértéke