Cirkelsektor

En cirkelsektor är en bit av en cirkel som ser ut som en pizzabit eller en tårtbit. Du skär ut den med två snitt som går från medelpunkten ut till kanten. Sektorn begränsas alltså av två radier och en bit av cirkeln mellan dem.

Själva sektorn är färgad röd, och det är dess area vi ska beräkna. De svarta sträckorna är de två radierna r, alltså de två knivsnitten. Med orange har vi markerat vinkeln α mellan radierna. Den kallas medelpunktsvinkel, eftersom dess spets ligger i cirkelns medelpunkt. Blå är bågen b, den bit av cirkeln som begränsar sektorn utåt — på en pizza är det kanten.

Formler för sektorn

Om du bara letar efter formeln: arean A av en cirkelsektor med radien r och medelpunktsvinkeln α i grader beräknar du som

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Längden b av samma sektors båge beräknar du som

$$b=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

En sektor med radien r = 6 och medelpunktsvinkeln α = 60° har till exempel arean

$$A=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

och dess båge är

$$b=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Om du inte gillar ett resultat med konstanten pi kan du sätta in närmevärdet 3,14:

$$A\approx 6\cdot 3,14=18,84,b\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Hur kom vi fram till det?

En hel cirkel har vinkeln 360° runt medelpunkten. En sektor är då den del av cirkeln som dess medelpunktsvinkel utgör av 360°. En sektor med vinkeln 90° är en fjärdedel av cirkeln, eftersom 90° är en fjärdedel av 360°. En sektor med vinkeln 180° är en halv cirkel, med vinkeln 270° tre fjärdedelar och med vinkeln 360° en hel cirkel:

Hur stor del av hela cirkeln sektorn utgör får vi alltså av bråket

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

För vinkeln 90° blir det $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$ och för 60° blir det $\frac{1}{6}$. Sektorns area är alltså lika stor del av cirkelns area. Cirkelns area är

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

så sektorns area får vi genom att multiplicera den med bråket:

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot A_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Med bågen fungerar det precis likadant. När vinkeln öppnar sig växer också den blå bågen, och vid vinkeln 360° blir den en hel cirkel. Bågen är därför lika stor del av cirkelns omkrets som vinkeln α är av 360°. Cirkelns omkrets är

$$O=2\cdot \pi \cdot r,$$

och bågens längd är alltså

$$b=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot O=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Exempel: pizza

En pizza har diametern 32 cm och är skuren i 8 lika stora bitar. Hur stor area har en bit?

Varje bit är en cirkelsektor. Först behöver vi dess medelpunktsvinkel. Åtta lika stora bitar delar på hela 360°, så en bit har vinkeln

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Nu gäller det att se upp för en fälla: 32 cm är pizzans diameter, inte radien. I formeln ska radien in, och den är hälften av diametern, alltså r = 16 cm. Vi sätter in i formeln för sektorns area:

$$A=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Bråket förkortas till en åttondel, vilket stämmer, eftersom biten är en åttondel av pizzan. Vi kvadrerar sexton:

$$A=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Vi delar 256 med åtta:

$$A=32\pi$$

Till sist sätter vi in närmevärdet för pi:

$$A\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

En bit har arean ungefär 100,48 kvadratcentimeter. Om någon av misstag satte in hela diametern 32 cm i formeln skulle biten bli fyra gånger så stor, över fyrahundra kvadratcentimeter. Det vore en pizza som hela familjen blev mätt på.

Exempel: klocka

Minutvisaren på en väggklocka är 15 cm lång. Hur många centimeter färdas dess spets på 20 minuter?

Visarens spets rör sig längs en cirkel vars radie är visarens längd, så r = 15 cm. Sträckan den färdas är den blå bågen b. Vi behöver också vinkeln. På 60 minuter går visaren ett helt varv, alltså 360°. På 20 minuter hinner den en tredjedels varv:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Vi sätter in i formeln för bågens längd:

$$b=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Bråket är en tredjedel och 2 · 15 = 30:

$$b=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Vi sätter in närmevärdet för pi:

$$b\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Minutvisarens spets färdas på 20 minuter ungefär 31,4 cm.

När vi känner bågen och söker vinkeln

Ibland är det tvärtom: vi känner radien och bågens längd och vill veta medelpunktsvinkeln. Vi utgår från formeln för bågens längd och löser ut vinkeln α:

$$\begin{array}{rcl}b& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot b& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot b}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Exempel: En bil kör in i en rondell och följer en cirkel med radien 10 meter. Innan den kör ut ur rondellen igen har den kört 15,7 meter längs cirkeln. Hur många grader har bilen vridit sig kring rondellens mittpunkt?

Vi sätter in b = 15,7, r = 10 och 3,14 för pi, eftersom bågens längd är angiven ungefärligt:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Vi multiplicerar nämnaren:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Talet 15,7 är precis en fjärdedel av 62,8, så bråket förkortas:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Bilen har vridit sig 90° och har alltså kört en fjärdedel av rondellen. Vi kan kontrollera att vi har räknat rätt: en fjärdedel av omkretsen är $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ meter. Det stämmer.

Vinkel i radianer

Om du har vinkeln angiven i radianer blir formlerna enklare. En hel cirkel är nämligen 360° = 2π radianer, så bråket som anger hur stor del av cirkeln sektorn utgör är $\frac{\alpha }{2\pi }$. När vi sätter in förkortas pi bort:

$$b=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$A=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Observera att vinkeln i dessa förkortade formler ska anges i radianer, inte i grader. Om du satte in till exempel 45 skulle resultatet bli nonsens.

Pizzabiten i exemplet ovan har vinkeln 45°, vilket är $\frac{\pi }{4}$ radianer. Bitens area är då $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, precis som tidigare.

Miniräknare

Här kan du också beräkna sektorns area och bågens längd. Vinkeln kan anges i grader eller radianer, och du byter enhet vid varje fält.

Se även

• Cirkelns area
• Cirkelns omkrets
• Cirkel
• Vinkelmått i radianer