Wycinek koła

Wycinek koła to część koła, która wygląda jak kawałek pizzy albo tortu. Wycinasz go dwoma cięciami, które biegną od środka aż do brzegu. Wycinek jest więc ograniczony dwoma promieniami i kawałkiem okręgu między nimi.

Na czerwono jest zaznaczony sam wycinek, jego pole będziemy liczyć. Czarne odcinki to dwa promienie r, czyli dwa cięcia nożem. Na pomarańczowo jest zaznaczony kąt α, który tworzą promienie. Nazywa się go kątem środkowym, ponieważ ma wierzchołek w środku koła. Na niebiesko jest łuk l, kawałek okręgu, który ogranicza wycinek od zewnątrz — w pizzy jest to brzeg ciasta.

Wzory na wycinek

Jeśli szukasz tylko wzoru, to pole wycinka koła P o promieniu r i kącie środkowym α w stopniach obliczysz jako

$$P=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Długość łuku l tego samego wycinka obliczysz jako

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Na przykład wycinek o promieniu r = 6 i kącie środkowym α = 60° ma pole

$$P=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

a jego łuk ma długość

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Jeśli nie podoba Ci się wynik z liczbą pi, możesz podstawić za nią przybliżoną wartość 3,14:

$$P\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Skąd się to wzięło?

Pełne koło ma wokół środka kąt 360°. Wycinek jest więc taką częścią koła, jaką część z 360° zajmuje jego kąt środkowy. Wycinek o kącie 90° to ćwierć koła, bo 90° to ćwierć z 360°. Wycinek o kącie 180° to pół koła, o kącie 270° trzy czwarte, a o kącie 360° całe koło:

Jaką część całego koła zajmuje wycinek, mówi nam więc ułamek

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Dla kąta 90° wychodzi $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, dla 60° zaś $\frac{1}{6}$. Pole wycinka jest więc taką samą częścią pola całego koła. Pole koła jest równe

$$P_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

więc pole wycinka dostaniemy, mnożąc je przez ten ułamek:

$$P=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot P_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Dokładnie tak samo działa to z łukiem. Gdy kąt się otwiera, rośnie razem z nim niebieski łuk, a przy kącie 360° robi się z niego cały okrąg. Łuk jest więc taką samą częścią obwodu koła, jaką część z 360° stanowi kąt α. Obwód koła jest równy

$$L=2\cdot \pi \cdot r,$$

a długość łuku wynosi zatem

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot L=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Przykład: pizza

Pizza ma średnicę 32 cm i jest pokrojona na 8 równych kawałków. Jakie pole ma jeden kawałek?

Każdy kawałek to wycinek koła. Najpierw potrzebujemy jego kąta środkowego. Osiem równych kawałków dzieli między siebie całe 360°, więc jeden kawałek ma kąt

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Teraz uwaga na pułapkę: 32 cm to średnica pizzy, a nie promień. Do wzoru należy jednak promień, a ten jest połową średnicy, czyli r = 16 cm. Podstawiamy do wzoru na pole wycinka:

$$P=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Ułamek skraca się do jednej ósmej, co ma sens, bo kawałek to jedna ósma pizzy. Podnosimy szesnaście do kwadratu:

$$P=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Liczbę 256 dzielimy przez osiem:

$$P=32\pi$$

I na koniec podstawiamy przybliżoną wartość pi:

$$P\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Jeden kawałek ma w przybliżeniu 100,48 centymetra kwadratowego. Gdyby ktoś przez pomyłkę podstawił do wzoru całą średnicę 32 cm, kawałek wyszedłby mu cztery razy większy, czyli ponad czterysta centymetrów kwadratowych. Byłaby to pizza, którą najadłaby się cała rodzina.

Przykład: zegar

Wskazówka minutowa na ściennym zegarze ma 15 cm długości. Ile centymetrów przebędzie jej czubek w ciągu 20 minut?

Czubek wskazówki porusza się po okręgu, którego promieniem jest długość wskazówki, więc r = 15 cm. Droga, którą pokona, to niebieski łuk l. Potrzebujemy jeszcze kąta. W ciągu 60 minut wskazówka obiega całe koło, czyli 360°. W ciągu 20 minut przebiegnie jedną trzecią koła:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Podstawiamy do wzoru na długość łuku:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Ułamek to jedna trzecia, a 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Podstawiamy przybliżoną wartość pi:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Czubek wskazówki minutowej przebędzie w ciągu 20 minut około 31,4 cm.

Gdy znamy łuk i szukamy kąta

Czasem jest odwrotnie: znamy promień i długość łuku, a chcemy obliczyć kąt środkowy. Wychodzimy ze wzoru na długość łuku i wyznaczamy z niego kąt α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Przykład: Samochód wjeżdża na rondo i jedzie po okręgu o promieniu 10 metrów. Zanim z ronda zjedzie, pokonuje po nim 15,7 metra. O jaki kąt obrócił się wokół środka ronda?

Podstawiamy l = 15,7, r = 10 i za pi 3,14, ponieważ długość łuku jest podana w przybliżeniu:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Mnożymy w mianowniku:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Liczba 15,7 to dokładnie jedna czwarta z 62,8, więc ułamek się skraca:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Samochód obrócił się o 90°, czyli objechał jedną czwartą ronda. Możemy sprawdzić, czy dobrze liczyliśmy: jedna czwarta obwodu to $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ metra. Zgadza się.

Kąt w radianach

Jeśli masz kąt podany w radianach, wzory się upraszczają. Całe koło ma bowiem 360° = 2π radianów, więc ułamek, który mówi, jaką część koła zajmuje wycinek, to $\frac{\alpha }{2\pi }$. Po podstawieniu pi się skraca:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$P=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Uwaga, do tych skróconych wzorów należy kąt w radianach, a nie w stopniach. Gdybyś podstawił na przykład 45, wyszłaby bzdura.

Na przykład kawałek pizzy z przykładu wyżej ma kąt 45°, czyli $\frac{\pi }{4}$ radiana. Pole kawałka wynosi wtedy $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, tak samo jak wcześniej.

Kalkulator

Pole wycinka i długość łuku możesz obliczyć również tutaj. Kąt można podać w stopniach lub w radianach, jednostki przełączysz przy każdym polu.

Zobacz też

• Pole koła
• Obwód koła
• Okrąg
• Miara łukowa kąta