Sectorul circular

Sectorul circular este o bucată de disc care arată ca o felie de pizza sau de tort. O tai cu două tăieturi care merg din centru până la margine. Sectorul este deci delimitat de două raze și de o bucată de cerc dintre ele.

Cu roșu este colorat sectorul însuși, a cărui arie o vom calcula. Segmentele negre sunt cele două raze r, adică cele două tăieturi de cuțit. Cu portocaliu este marcat unghiul α format de raze. Se numește unghi la centru, pentru că vârful lui este în centrul discului. Cu albastru este arcul l, bucata de cerc care delimitează sectorul din exterior – la pizza este marginea.

Formulele pentru sector

Dacă îți trebuie doar formula, aria $\mathcal{A}$ a unui sector circular cu raza r și unghiul la centru α în grade se calculează astfel:

$$\mathcal{A}=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Lungimea l a arcului aceluiași sector se calculează astfel:

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

De exemplu, un sector cu raza r = 6 și unghiul la centru α = 60° are aria

$$\mathcal{A}=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

iar arcul lui are lungimea

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Dacă nu-ți place un rezultat în care apare constanta pi, poți înlocui pi cu valoarea aproximativă 3,14:

$$\mathcal{A}\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Cum am ajuns la formule?

Un disc întreg are în jurul centrului un unghi de 360°. Sectorul reprezintă atunci din disc aceeași parte pe care o reprezintă unghiul său la centru din cele 360°. Un sector cu unghiul de 90° este un sfert de disc, pentru că 90° este un sfert din 360°. Un sector cu unghiul de 180° este jumătate de disc, cu unghiul de 270° trei sferturi, iar cu unghiul de 360° discul întreg:

Ce parte din discul întreg ocupă sectorul ne spune deci fracția

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Pentru unghiul de 90° obținem $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, iar pentru 60° obținem $\frac{1}{6}$. Aria sectorului este deci aceeași parte din aria întregului disc. Aria discului este

$${\mathcal{A}}_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

așa că aria sectorului o obținem înmulțind-o cu această fracție:

$$\mathcal{A}=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot {\mathcal{A}}_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Exact la fel stau lucrurile și cu arcul. Când unghiul se deschide, crește odată cu el și arcul albastru, iar la unghiul de 360° el devine cercul întreg. Arcul este deci aceeași parte din lungimea cercului pe care o reprezintă unghiul α din 360°. Lungimea cercului este

$$L=2\cdot \pi \cdot r,$$

iar lungimea arcului este deci

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot L=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Exemplu: pizza

O pizza are diametrul de 32 cm și este tăiată în 8 felii egale. Ce arie are o felie?

Fiecare felie este un sector circular. Mai întâi avem nevoie de unghiul ei la centru. Cele opt felii egale își împart cele 360°, așa că o felie are unghiul

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Acum atenție la capcană: 32 cm este diametrul pizzei, nu raza. În formulă însă trebuie pusă raza, iar aceasta este jumătate din diametru, adică r = 16 cm. Înlocuim în formula pentru aria sectorului:

$$\mathcal{A}=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Fracția se simplifică la o optime, ceea ce are sens, pentru că felia este o optime din pizza. Ridicăm la pătrat numărul șaisprezece:

$$\mathcal{A}=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Împărțim numărul 256 la opt:

$$\mathcal{A}=32\pi$$

Și la final înlocuim valoarea aproximativă a lui pi:

$$\mathcal{A}\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

O felie are aproximativ 100,48 centimetri pătrați. Dacă cineva ar înlocui din greșeală în formulă tot diametrul de 32 cm, ar obține o felie de patru ori mai mare, adică peste patru sute de centimetri pătrați. Ar fi o pizza din care s-ar sătura o familie întreagă.

Exemplu: ceasul

Acul minutar al unui ceas de perete are 15 cm lungime. Câți centimetri parcurge vârful lui în 20 de minute?

Vârful acului se mișcă pe un cerc a cărui rază este lungimea acului, deci r = 15 cm. Drumul pe care îl parcurge este arcul albastru l. Mai avem nevoie de unghi. În 60 de minute acul face un tur complet, adică 360°. În 20 de minute face o treime de tur:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Înlocuim în formula pentru lungimea arcului:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Fracția este o treime și 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Înlocuim valoarea aproximativă a lui pi:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Vârful acului minutar parcurge în 20 de minute aproximativ 31,4 cm.

Când cunoaștem arcul și căutăm unghiul

Uneori este invers: cunoaștem raza și lungimea arcului și vrem să aflăm unghiul la centru. Pornim de la formula pentru lungimea arcului și din ea exprimăm unghiul α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Exemplu: O mașină intră într-un sens giratoriu și merge pe un cerc cu raza de 10 metri. Până când iese din nou din sensul giratoriu, parcurge pe el 15,7 metri. Cu ce unghi s-a rotit în jurul centrului sensului giratoriu?

Înlocuim l = 15,7, r = 10 și pentru pi luăm 3,14, pentru că lungimea arcului este dată aproximativ:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Înmulțim la numitor:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Numărul 15,7 este exact un sfert din 62,8, așa că fracția se simplifică:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Mașina s-a rotit cu 90°, deci a parcurs un sfert din sensul giratoriu. Putem verifica dacă am calculat corect: un sfert din lungimea cercului este $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ metri. Se potrivește.

Unghiul în radiani

Dacă ai unghiul dat în radiani, formulele se simplifică. Un disc întreg are 360° = 2π radiani, așa că fracția care spune ce parte din disc ocupă sectorul este $\frac{\alpha }{2\pi }$. După înlocuire, pi se simplifică:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$\mathcal{A}=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Atenție, în aceste formule simplificate trebuie pus unghiul în radiani, nu în grade. Dacă ai înlocui în ele, de exemplu, 45, ar ieși un rezultat absurd.

De exemplu, felia de pizza din exemplul de mai sus are unghiul 45°, adică $\frac{\pi }{4}$ radiani. Aria feliei este atunci $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, la fel ca înainte.

Calculator

Aria sectorului și lungimea arcului le poți calcula și aici. Unghiul se poate introduce în grade sau în radiani; unitățile le poți schimba la fiecare câmp.

Vezi și

• Aria discului
• Lungimea cercului
• Cercul
• Măsura în radiani a unghiului