Cirkeludsnit

Et cirkeludsnit er et stykke af en cirkel, der ser ud som et stykke pizza eller kage. Du skærer det ud med to snit, der går fra centrum helt ud til kanten. Udsnittet er altså afgrænset af to radier og et stykke af cirklen mellem dem.

Selve udsnittet er farvet rødt, og det er dets areal, vi skal beregne. De sorte linjestykker er to radier r, altså to snit med kniven. Med orange er vinklen α markeret, som radierne danner med hinanden. Den kaldes centervinkel, fordi dens vinkelspids ligger i cirklens centrum. Med blåt er buen l markeret, et stykke af cirklen, som afgrænser udsnittet udadtil — ved en pizza er det skorpen.

Formler for cirkeludsnittet

Hvis du blot leder efter formlen, så beregner du arealet A af et cirkeludsnit med radius r og centervinklen α i grader som

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Længden af buen l af det samme udsnit beregner du som

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

For eksempel har et udsnit med radius r = 6 og centervinklen α = 60° arealet

$$A=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

og dets bue er

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Hvis du ikke bryder dig om et resultat med konstanten pi, kan du indsætte den tilnærmede værdi 3,14:

$$A\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Hvordan kom vi frem til det?

Hele cirklen har vinklen 360° rundt om centrum. Et udsnit er så den del af cirklen, som dets centervinkel udgør af 360°. Et udsnit med vinklen 90° er en fjerdedel af cirklen, fordi 90° er en fjerdedel af 360°. Et udsnit med vinklen 180° er en halv cirkel, med vinklen 270° tre fjerdedele og med vinklen 360° hele cirklen:

Hvor stor en del af hele cirklen udsnittet udgør, fortæller brøken os altså:

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

For vinklen 90° får vi $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, for 60° så $\frac{1}{6}$. Udsnittets areal er således den samme del af hele cirklens areal. Cirklens areal er

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

så udsnittets areal får vi, når vi ganger det med denne brøk:

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot A_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Med buen fungerer det på præcis samme måde. Når vinklen åbner sig, vokser den blå bue med den, og ved vinklen 360° bliver den til hele cirklen. Buen er derfor den samme del af cirklens omkreds, som vinklen α er af 360°. Cirklens omkreds er

$$O=2\cdot \pi \cdot r,$$

og buens længde er således

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot O=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Eksempel: pizza

En pizza har en diameter på 32 cm og er skåret i 8 lige store stykker. Hvilket areal har ét stykke?

Hvert stykke er et cirkeludsnit. Først skal vi bruge dets centervinkel. Otte lige store stykker deler de hele 360° imellem sig, så ét stykke har vinklen

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Nu skal du passe på, her er en fælde: 32 cm er pizzaens diameter, ikke radius. Til formlen skal vi bruge radius, og den er halvdelen af diameteren, altså r = 16 cm. Vi indsætter i formlen for udsnittets areal:

$$A=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Brøken forkortes til en ottendedel, hvilket giver mening, fordi stykket er en ottendedel af pizzaen. Vi kvadrerer seksten:

$$A=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Vi dividerer 256 med otte:

$$A=32\pi$$

Til sidst indsætter vi den tilnærmede værdi af pi:

$$A\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Ét stykke har et areal på cirka 100,48 kvadratcentimeter. Hvis nogen ved en fejl indsatte hele diameteren på 32 cm i formlen, ville de få et stykke, der er fire gange så stort, nemlig over fire hundrede kvadratcentimeter. Det ville være en pizza, som en hel familie kunne blive mæt af.

Eksempel: ur

Minutviseren på et vægur er 15 cm lang. Hvor mange centimeter tilbagelægger dens spids på 20 minutter?

Viserens spids bevæger sig langs en cirkel, hvis radius er viserens længde, så r = 15 cm. Den strækning, den tilbagelægger, er den blå bue l. Vi mangler stadig vinklen. På 60 minutter løber viseren hele runden, altså 360°. På 20 minutter når den en tredjedel af runden:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Vi indsætter i formlen for buens længde:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Brøken er en tredjedel, og 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Vi indsætter den tilnærmede værdi af pi:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Minutviserens spids tilbagelægger på 20 minutter cirka 31,4 cm.

Når vi kender buen og søger vinklen

Nogle gange er det omvendt: Vi kender radius og buens længde og vil finde centervinklen. Vi tager udgangspunkt i formlen for buens længde og isolerer vinklen α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Eksempel: En bil kører ind i en rundkørsel og følger en cirkel med radius 10 meter. Inden den kører ud af rundkørslen igen, tilbagelægger den 15,7 meter langs cirklen. Hvilken vinkel har den drejet omkring rundkørslens centrum?

Vi indsætter l = 15,7, r = 10 og 3,14 for pi, fordi buens længde er angivet tilnærmet:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Vi udregner nævneren:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Tallet 15,7 er præcis en fjerdedel af 62,8, så brøken kan forkortes:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Bilen har drejet 90° og har altså kørt en fjerdedel af rundkørslen. Vi kan kontrollere, om vi har regnet rigtigt: En fjerdedel af omkredsen er $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ meter. Det stemmer.

Vinkel i radianer

Hvis du har vinklen angivet i radianer, bliver formlerne enklere. Hele cirklen har nemlig 360° = 2π radianer, så brøken, der angiver, hvor stor en del af cirklen udsnittet udgør, er $\frac{\alpha }{2\pi }$. Efter indsættelse forkortes pi væk:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$A=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Pas på: I disse forkortede formler skal vinklen være i radianer, ikke i grader. Hvis du indsatte for eksempel 45, ville resultatet være meningsløst.

Pizzastykket fra eksemplet ovenfor har for eksempel vinklen 45°, hvilket er $\frac{\pi }{4}$ radian. Stykkets areal er så $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, ligesom før.

Beregner

Du kan også beregne cirkeludsnittets areal og buens længde her. Vinklen kan angives i grader og i radianer, enhederne skifter du ved hvert felt.

Se også

• Areal af cirkel
• Omkreds af cirkel
• Cirkel
• Buemål for vinkler