Κυκλικός τομέας

Ο κυκλικός τομέας είναι ένα κομμάτι του κυκλικού δίσκου που μοιάζει με φέτα πίτσας ή τούρτας. Τον κόβουμε με δύο τομές που ξεκινούν από το κέντρο και φτάνουν μέχρι το άκρο. Έτσι ο τομέας περιορίζεται από δύο ακτίνες και από ένα τμήμα του κύκλου ανάμεσά τους.

Με κόκκινο είναι χρωματισμένος ο ίδιος ο τομέας, του οποίου το εμβαδόν θα υπολογίσουμε. Τα μαύρα ευθύγραμμα τμήματα είναι οι δύο ακτίνες R, δηλαδή οι δύο τομές του μαχαιριού. Με πορτοκαλί είναι σημειωμένη η γωνία α που σχηματίζουν οι ακτίνες. Τη λέμε επίκεντρη γωνία, επειδή η κορυφή της βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου. Με μπλε είναι το τόξο ℓ, το κομμάτι του κύκλου που περιορίζει τον τομέα απέξω — στην πίτσα είναι η κόρα.

Τύποι για τον τομέα

Αν ψάχνεις μόνο τον τύπο, το εμβαδόν E ενός κυκλικού τομέα με ακτίνα R και επίκεντρη γωνία α σε μοίρες το υπολογίζεις ως

$$E=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot R^2$$

Το μήκος ℓ του τόξου του ίδιου τομέα το υπολογίζεις ως

$$\ell =\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot R$$

Για παράδειγμα, ένας τομέας με ακτίνα R = 6 και επίκεντρη γωνία α = 60° έχει εμβαδόν

$$E=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

και το τόξο του έχει μήκος

$$\ell =\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Αν δεν σου αρέσει ένα αποτέλεσμα που περιέχει τη σταθερά π, μπορείς να βάλεις στη θέση της την προσεγγιστική τιμή 3,14:

$$E\approx 6\cdot 3,14=18,84,\ell \approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Πώς το βρήκαμε;

Ολόκληρος ο κύκλος έχει γύρω από το κέντρο γωνία 360°. Ο τομέας είναι λοιπόν το κομμάτι του κύκλου που αντιστοιχεί στο μέρος των 360° που καταλαμβάνει η επίκεντρη γωνία του. Ένας τομέας με γωνία 90° είναι το ένα τέταρτο του κύκλου, επειδή οι 90° είναι το ένα τέταρτο των 360°. Ένας τομέας με γωνία 180° είναι το μισό του κύκλου, με γωνία 270° τα τρία τέταρτα και με γωνία 360° ολόκληρος ο κύκλος:

Ποιο μέρος του κύκλου καταλαμβάνει ο τομέας, μάς το λέει λοιπόν το κλάσμα

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Για γωνία 90° βγαίνει $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, για 60° βγαίνει $\frac{1}{6}$. Το εμβαδόν του τομέα είναι επομένως το ίδιο μέρος του εμβαδού ολόκληρου του κύκλου. Το εμβαδόν του κύκλου είναι

$$E_{\circ }=\pi \cdot R^2,$$

άρα το εμβαδόν του τομέα το βρίσκουμε πολλαπλασιάζοντάς το με αυτό το κλάσμα:

$$E=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot E_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot R^2$$

Ακριβώς το ίδιο ισχύει και για το τόξο. Όταν ανοίγει η γωνία, μεγαλώνει μαζί της και το μπλε τόξο και, για γωνία 360°, γίνεται ολόκληρος ο κύκλος. Το τόξο είναι λοιπόν το ίδιο μέρος του μήκους του κύκλου όσο είναι η γωνία α των 360°. Το μήκος του κύκλου είναι

$$L=2\cdot \pi \cdot R,$$

και το μήκος του τόξου είναι επομένως

$$\ell =\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot L=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot R$$

Παράδειγμα: πίτσα

Μια πίτσα έχει διάμετρο 32 cm και είναι κομμένη σε 8 ίσες φέτες. Ποιο εμβαδόν έχει μία φέτα;

Κάθε φέτα είναι κυκλικός τομέας. Πρώτα χρειαζόμαστε την επίκεντρη γωνία του. Οκτώ ίσες φέτες μοιράζονται τις 360° του κύκλου, οπότε μία φέτα έχει γωνία

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Τώρα πρόσεχε την παγίδα: τα 32 cm είναι η διάμετρος της πίτσας, όχι η ακτίνα. Στον τύπο όμως μπαίνει η ακτίνα, και αυτή είναι η μισή διάμετρος, δηλαδή R = 16 cm. Αντικαθιστούμε στον τύπο για το εμβαδόν του τομέα:

$$E=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Το κλάσμα απλοποιείται σε ένα όγδοο, κάτι που βγάζει νόημα, αφού η φέτα είναι το ένα όγδοο της πίτσας. Υψώνουμε το δεκαέξι στο τετράγωνο:

$$E=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Διαιρούμε το 256 με το οκτώ:

$$E=32\pi$$

Και στο τέλος βάζουμε την προσεγγιστική τιμή του π:

$$E\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Μία φέτα έχει εμβαδόν περίπου 100,48 τετραγωνικά εκατοστά. Αν κάποιος έβαζε κατά λάθος στον τύπο ολόκληρη τη διάμετρο των 32 cm, η φέτα θα έβγαινε τέσσερις φορές μεγαλύτερη, δηλαδή πάνω από τετρακόσια τετραγωνικά εκατοστά. Αυτή θα ήταν μια πίτσα που θα χόρταινε ολόκληρη την οικογένεια.

Παράδειγμα: ρολόι

Ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού τοίχου έχει μήκος 15 cm. Πόσα εκατοστά διανύει η άκρη του σε 20 λεπτά;

Η άκρη του δείκτη κινείται πάνω σε κύκλο με ακτίνα το μήκος του δείκτη, άρα R = 15 cm. Η διαδρομή που διανύει είναι το μπλε τόξο ℓ. Χρειαζόμαστε ακόμα τη γωνία. Σε 60 λεπτά ο δείκτης κάνει ολόκληρη τη στροφή, δηλαδή 360°. Σε 20 λεπτά κάνει το ένα τρίτο της στροφής:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Αντικαθιστούμε στον τύπο για το μήκος του τόξου:

$$\ell =\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Το κλάσμα είναι ένα τρίτο και 2 · 15 = 30:

$$\ell =\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Βάζουμε την προσεγγιστική τιμή του π:

$$\ell \approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Η άκρη του λεπτοδείκτη διανύει σε 20 λεπτά περίπου 31,4 cm.

Όταν ξέρουμε το τόξο και ψάχνουμε τη γωνία

Μερικές φορές συμβαίνει το αντίστροφο: ξέρουμε την ακτίνα και το μήκος του τόξου και θέλουμε να βρούμε την επίκεντρη γωνία. Ξεκινάμε από τον τύπο για το μήκος του τόξου και λύνουμε ως προς τη γωνία α:

$$\begin{array}{rcl}\ell & =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot R/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot \ell & =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot R/:(2\cdot \pi \cdot R)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot \ell }{2\cdot \pi \cdot R}\end{array}$$

Παράδειγμα: Ένα αυτοκίνητο μπαίνει σε κυκλικό κόμβο και κινείται πάνω σε κύκλο ακτίνας 10 μέτρων. Μέχρι να βγει ξανά από τον κόμβο, διανύει πάνω του 15,7 μέτρα. Κατά ποια γωνία γύρισε γύρω από το κέντρο του κόμβου;

Αντικαθιστούμε ℓ = 15,7, R = 10 και για το π το 3,14, επειδή το μήκος του τόξου δίνεται προσεγγιστικά:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό στον παρονομαστή:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Το 15,7 είναι ακριβώς το ένα τέταρτο του 62,8, άρα το κλάσμα απλοποιείται:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Το αυτοκίνητο γύρισε κατά 90°, δηλαδή έκανε το ένα τέταρτο του γύρου του κόμβου. Μπορούμε να ελέγξουμε αν οι πράξεις μας είναι σωστές: το ένα τέταρτο του μήκους του κύκλου είναι $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ μέτρα. Επαληθεύεται.

Γωνία σε ακτίνια

Αν η γωνία δίνεται σε ακτίνια, οι τύποι απλουστεύονται. Ολόκληρος ο κύκλος έχει 360° = 2π ακτίνια, οπότε το κλάσμα που δείχνει ποιο μέρος του κύκλου καταλαμβάνει ο τομέας είναι $\frac{\alpha }{2\pi }$. Μετά την αντικατάσταση το π απλοποιείται:

$$\ell =\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot R=\alpha \cdot R$$

$$E=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot R^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot R^2$$

Προσοχή, σε αυτούς τους απλοποιημένους τύπους μπαίνει η γωνία σε ακτίνια, όχι σε μοίρες. Αν βάλεις σε αυτούς, ας πούμε, το 45, θα βγει παράλογο αποτέλεσμα.

Για παράδειγμα, η φέτα πίτσας από το παράδειγμα παραπάνω έχει γωνία 45°, που είναι $\frac{\pi }{4}$ ακτίνια. Το εμβαδόν της φέτας είναι τότε $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, όπως και πριν.

Αριθμομηχανή

Εδώ μπορείς να υπολογίσεις και το εμβαδόν του τομέα και το μήκος του τόξου. Τη γωνία μπορείς να τη δώσεις σε μοίρες ή σε ακτίνια· τις μονάδες τις αλλάζεις σε κάθε πεδίο.

Δες επίσης

• Εμβαδόν κύκλου
• Μήκος κύκλου
• Κύκλος
• Μέτρηση γωνιών σε ακτίνια