Kruhová výseč

Kruhová výseč je kus kruhu, který vypadá jako dílek pizzy nebo dortu. Vykrojíte ho dvěma řezy, které vedou ze středu až k okraji. Výseč tak ohraničují dva poloměry a kus kružnice mezi nimi.

Červeně je vybarvená samotná výseč, její obsah budeme počítat. Černé úsečky jsou dva poloměry r, tedy dva řezy nožem. Oranžově je vyznačený úhel α, který svírají poloměry. Říká se mu středový úhel, protože má vrchol ve středu kruhu. Modře je oblouk l, kus kružnice, který výseč ohraničuje zvenku — u pizzy je to kůrka.

Vzorce pro výseč

Pokud hledáte jen vzorec, pak obsah kruhové výseče S, jejíž poloměr je r a středový úhel α ve stupních, vypočítáte jako

$$S=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Délku oblouku l téže výseče vypočítáte jako

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Například výseč s poloměrem r = 6 a středovým úhlem α = 60° má obsah

$$S=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

a její oblouk je dlouhý

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Pokud se vám nelíbí výsledek, ve kterém je konstanta pí, můžete za ni dosadit přibližnou hodnotu 3,14:

$$S\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Jak jsme na to přišli?

Celý kruh má kolem středu úhel 360°. Výseč je pak taková část kruhu, jakou část z 360° zabírá její středový úhel. Výseč s úhlem 90° je čtvrtina kruhu, protože 90° je čtvrtina z 360°. Výseč s úhlem 180° je půlka kruhu, s úhlem 270° tři čtvrtiny a s úhlem 360° celý kruh:

Jakou část celého kruhu výseč zabírá, nám tedy řekne zlomek

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Pro úhel 90° vyjde $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, pro 60° pak $\frac{1}{6}$. Obsah výseče je tedy stejná část z obsahu celého kruhu. Obsah kruhu je

$$S_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

takže obsah výseče dostaneme, když ho tímhle zlomkem vynásobíme:

$$S=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot S_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Úplně stejně to funguje s obloukem. Když se úhel otevírá, roste s ním i modrý oblouk, a při úhlu 360° z něj je celá kružnice. Oblouk je proto stejná část obvodu kružnice jako úhel α z 360°. Obvod kružnice je

$$o=2\cdot \pi \cdot r,$$

a délka oblouku je tedy

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot o=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Příklad: pizza

Pizza má průměr 32 cm a je nakrájená na 8 stejných dílků. Jaký obsah má jeden dílek?

Každý dílek je kruhová výseč. Nejdřív potřebujeme její středový úhel. Osm stejných dílků si rozdělí celých 360°, takže jeden dílek má úhel

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Teď pozor na zradu: 32 cm je průměr pizzy, ne poloměr. Do vzorce ale patří poloměr, a ten je polovina průměru, tedy r = 16 cm. Dosadíme do vzorce pro obsah výseče:

$$S=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Zlomek se zkrátí na jednu osminu, což dává smysl, protože dílek je osmina pizzy. Umocníme šestnáctku:

$$S=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Číslo 256 vydělíme osmi:

$$S=32\pi$$

A nakonec dosadíme přibližnou hodnotu pí:

$$S\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Jeden dílek má přibližně 100,48 centimetru čtverečního. Kdyby někdo do vzorce omylem dosadil celý průměr 32 cm, vyšel by mu dílek čtyřikrát větší, totiž přes čtyři sta centimetrů čtverečních. To by byla pizza, ze které by se najedla celá rodina.

Příklad: hodiny

Minutová ručička na nástěnných hodinách je dlouhá 15 cm. Kolik centimetrů urazí její špička za 20 minut?

Špička ručičky jezdí po kružnici, jejíž poloměr je délka ručičky, takže r = 15 cm. Dráha, kterou urazí, je modrý oblouk l. Potřebujeme ještě úhel. Za 60 minut oběhne ručička celé kolo, tedy 360°. Za 20 minut zvládne třetinu kola:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Dosadíme do vzorce pro délku oblouku:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Zlomek je jedna třetina a 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Dosadíme přibližnou hodnotu pí:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Špička minutové ručičky urazí za 20 minut přibližně 31,4 cm.

Když známe oblouk a hledáme úhel

Někdy je to naopak: známe poloměr a délku oblouku a chceme zjistit středový úhel. Vyjdeme ze vzorce pro délku oblouku a z něj vyjádříme úhel α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Příklad: Auto vjede na kruhový objezd a jede po kružnici o poloměru 10 metrů. Než z objezdu zase vyjede, ujede po ní 15,7 metru. O jaký úhel se kolem středu objezdu otočilo?

Dosadíme l = 15,7, r = 10 a za pí 3,14, protože délka oblouku je zadaná přibližně:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Vynásobíme jmenovatel:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Číslo 15,7 je přesně čtvrtina z 62,8, takže zlomek se zkrátí:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Auto se otočilo o 90°, objelo tedy čtvrtinu objezdu. Můžeme si ověřit, jestli jsme počítali správně: čtvrtina obvodu je $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ metru. Sedí.

Úhel v radiánech

Pokud máte úhel zadaný v radiánech, vzorce se zjednoduší. Celý kruh má totiž 360° = 2π radiánů, takže zlomek, který říká, jakou část kruhu výseč zabírá, je $\frac{\alpha }{2\pi }$. Po dosazení se pí zkrátí:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$S=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Pozor, do těchto zkrácených vzorců patří úhel v radiánech, ne ve stupních. Kdybyste do nich dosadili třeba 45, vyšel by nesmysl.

Třeba dílek pizzy z příkladu výše má úhel 45°, což je $\frac{\pi }{4}$ radiánu. Obsah dílku pak je $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, stejně jako předtím.

Kalkulačka

Obsah výseče i délku oblouku si můžete spočítat i tady. Úhel jde zadat ve stupních i v radiánech, jednotky si u každého pole přepnete.

Viz také

• Obsah kruhu
• Obvod kružnice
• Kružnice
• Oblouková míra úhlu