Sector circular

Un sector circular es un trozo de círculo que parece una porción de pizza o de tarta. Se obtiene con dos cortes que van desde el centro hasta el borde. Así, el sector queda limitado por dos radios y por un trozo de circunferencia entre ellos.

En rojo está coloreado el propio sector, cuya área vamos a calcular. Los segmentos negros son los dos radios r, es decir, los dos cortes de cuchillo. En naranja está marcado el ángulo α que forman los radios. Se llama ángulo central, porque su vértice está en el centro del círculo. En azul está el arco l, el trozo de circunferencia que limita el sector por fuera; en la pizza es la corteza.

Fórmulas del sector

Si solo buscas la fórmula, el área A de un sector circular de radio r y ángulo central α en grados se calcula como

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

La longitud del arco l del mismo sector se calcula como

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Por ejemplo, un sector de radio r = 6 y ángulo central α = 60° tiene un área de

$$A=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

y su arco mide

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Si no te gusta un resultado en el que aparece la constante pi, puedes sustituirla por el valor aproximado 3,14:

$$A\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

¿Cómo hemos llegado a esto?

El círculo completo tiene un ángulo de 360° alrededor del centro. Un sector ocupa entonces del círculo la misma parte que su ángulo central de los 360°. Un sector con ángulo de 90° es un cuarto del círculo, porque 90° es un cuarto de 360°. Un sector con ángulo de 180° es medio círculo, con ángulo de 270° son tres cuartos y con ángulo de 360° es el círculo entero:

La parte del círculo entero que ocupa el sector nos la dice, por tanto, la fracción

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Para el ángulo de 90° resulta $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, y para 60° resulta $\frac{1}{6}$. El área del sector es entonces esa misma parte del área del círculo entero. El área del círculo es

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

así que el área del sector se obtiene multiplicándola por esa fracción:

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot A_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Con el arco ocurre exactamente lo mismo. Cuando el ángulo se abre, crece con él el arco azul, y con un ángulo de 360° se convierte en la circunferencia entera. Por eso el arco es la misma parte de la longitud de la circunferencia que el ángulo α de los 360°. La longitud de la circunferencia es

$$L=2\cdot \pi \cdot r,$$

y la longitud del arco es, por tanto,

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot L=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Ejemplo: la pizza

Una pizza tiene un diámetro de 32 cm y está cortada en 8 porciones iguales. ¿Qué área tiene una porción?

Cada porción es un sector circular. Primero necesitamos su ángulo central. Ocho porciones iguales se reparten los 360° completos, así que una porción tiene un ángulo de

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Ahora, ojo a la trampa: 32 cm es el diámetro de la pizza, no el radio. En la fórmula va el radio, que es la mitad del diámetro, es decir, r = 16 cm. Sustituimos en la fórmula del área del sector:

$$A=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

La fracción se simplifica a un octavo, lo cual tiene sentido, porque la porción es un octavo de la pizza. Elevamos 16 al cuadrado:

$$A=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Dividimos 256 entre ocho:

$$A=32\pi$$

Y por último sustituimos el valor aproximado de pi:

$$A\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Una porción tiene un área de aproximadamente 100,48 centímetros cuadrados. Si alguien sustituyera por error en la fórmula el diámetro completo de 32 cm, le saldría una porción cuatro veces mayor, es decir, más de cuatrocientos centímetros cuadrados. Sería una pizza con la que cenaría toda la familia.

Ejemplo: el reloj

El minutero de un reloj de pared mide 15 cm. ¿Cuántos centímetros recorre su punta en 20 minutos?

La punta del minutero se mueve por una circunferencia cuyo radio es la longitud del minutero, así que r = 15 cm. El camino que recorre es el arco azul l. Todavía necesitamos el ángulo. En 60 minutos el minutero da una vuelta completa, es decir, 360°. En 20 minutos recorre un tercio de la vuelta:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Sustituimos en la fórmula de la longitud del arco:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

La fracción es un tercio y 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Sustituimos el valor aproximado de pi:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

La punta del minutero recorre en 20 minutos aproximadamente 31,4 cm.

Cuando conocemos el arco y buscamos el ángulo

A veces es al revés: conocemos el radio y la longitud del arco y queremos hallar el ángulo central. Partimos de la fórmula de la longitud del arco y despejamos de ella el ángulo α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Ejemplo: Un coche entra en una rotonda y circula por una circunferencia de 10 metros de radio. Antes de salir de la rotonda recorre por ella 15,7 metros. ¿Qué ángulo ha girado alrededor del centro de la rotonda?

Sustituimos l = 15,7, r = 10 y, en lugar de pi, 3,14, porque la longitud del arco está dada de forma aproximada:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Multiplicamos el denominador:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

El número 15,7 es exactamente la cuarta parte de 62,8, así que la fracción se simplifica:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

El coche ha girado 90°, es decir, ha recorrido un cuarto de la rotonda. Podemos comprobar si hemos calculado bien: un cuarto de la longitud de la circunferencia es $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ metros. Cuadra.

Ángulo en radianes

Si tienes el ángulo dado en radianes, las fórmulas se simplifican. El círculo completo tiene 360° = 2π radianes, así que la fracción que dice qué parte del círculo ocupa el sector es $\frac{\alpha }{2\pi }$. Al sustituir, pi se simplifica:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$A=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Ojo: en estas fórmulas simplificadas va el ángulo en radianes, no en grados. Si sustituyeras, por ejemplo, 45, saldría un disparate.

Por ejemplo, la porción de pizza del ejemplo anterior tiene un ángulo de 45°, que son $\frac{\pi }{4}$ radianes. El área de la porción es entonces $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, igual que antes.

Calculadora

Aquí también puedes calcular el área del sector y la longitud de su arco. El ángulo se puede introducir en grados o en radianes; la unidad puedes cambiarla junto a cada campo.

Véase también

• Área del círculo
• Longitud de la circunferencia
• Circunferencia
• Medida de un ángulo en radianes