Ympyrän sektori

Ympyrän sektori on ympyrän osa, joka näyttää pizzan tai kakun palalta. Se leikataan kahdella leikkauksella, jotka kulkevat keskipisteestä reunaan asti. Sektoria rajaavat siis kaksi sädettä ja niiden välinen ympyrän kaaren pala.

Punaisella on väritetty itse sektori, jonka pinta-ala lasketaan. Mustat janat ovat kaksi sädettä r, eli kaksi veitsenleikkausta. Oranssilla on merkitty kulma α, jonka säteet muodostavat. Sitä kutsutaan keskuskulmaksi, koska sen kärki on ympyrän keskipisteessä. Sinisellä on kaari b, ympyrän kehän pala, joka rajaa sektoria ulkoapäin — pizzassa se on reuna.

Sektorin kaavat

Jos etsit vain kaavaa, sektorin, jonka säde on r ja keskuskulma α asteina, pinta-ala A lasketaan kaavalla

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Saman sektorin kaaren pituus b lasketaan kaavalla

$$b=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Esimerkiksi sektorin, jonka säde on r = 6 ja keskuskulma α = 60°, pinta-ala on

$$A=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

ja sen kaaren pituus on

$$b=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Jos tulos, jossa esiintyy vakio pii, ei miellytä, sen paikalle voi sijoittaa likiarvon 3,14:

$$A\approx 6\cdot 3,14=18,84,b\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Miten tähän päädyttiin?

Koko ympyrän kulma keskipisteen ympärillä on 360°. Sektori on siis yhtä suuri osa ympyrästä kuin sen keskuskulma on kulmasta 360°. Sektori, jonka kulma on 90°, on neljäsosa ympyrästä, koska 90° on neljäsosa luvusta 360°. Sektori, jonka kulma on 180°, on puolet ympyrästä, kulmalla 270° kolme neljäsosaa ja kulmalla 360° koko ympyrä:

Sen, kuinka suuren osan koko ympyrästä sektori peittää, kertoo siis murtoluku

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Kulmalla 90° saadaan $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, kulmalla 60° puolestaan $\frac{1}{6}$. Sektorin pinta-ala on siis sama osa koko ympyrän pinta-alasta. Ympyrän pinta-ala on

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

joten sektorin pinta-ala saadaan kertomalla se tällä murtoluvulla:

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot A_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Aivan samoin on kaaren kanssa. Kun kulma aukeaa, sen mukana kasvaa sininen kaari, ja kulmalla 360° siitä tulee koko ympyrän kehä. Kaari on siis sama osa ympyrän kehän pituudesta kuin kulma α on luvusta 360°. Ympyrän kehän pituus on

$$p=2\cdot \pi \cdot r,$$

ja kaaren pituus on siis

$$b=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot p=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Esimerkki: pizza

Pizzan halkaisija on 32 cm ja se on leikattu 8 yhtä suureen palaan. Mikä on yhden palan pinta-ala?

Jokainen pala on ympyrän sektori. Ensin tarvitaan sen keskuskulma. Kahdeksan yhtä suurta palaa jakavat keskenään koko kulman 360°, joten yhden palan kulma on

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Nyt on syytä olla tarkkana: 32 cm on pizzan halkaisija, ei säde. Kaavaan kuuluu kuitenkin säde, joka on puolet halkaisijasta, eli r = 16 cm. Sijoitetaan sektorin pinta-alan kaavaan:

$$A=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Murtoluku supistuu yhdeksi kahdeksasosaksi, mikä on järkevää, koska pala on kahdeksasosa pizzasta. Korotetaan kuusitoista toiseen potenssiin:

$$A=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Jaetaan luku 256 kahdeksalla:

$$A=32\pi$$

Ja lopuksi sijoitetaan piin likiarvo:

$$A\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Yhden palan pinta-ala on likimain 100,48 neliösenttimetriä. Jos joku sijoittaisi kaavaan vahingossa koko halkaisijan 32 cm, palasta tulisi neljä kertaa suurempi, eli yli neljäsataa neliösenttimetriä. Se olisi pizza, josta koko perhe tulisi kylläiseksi.

Esimerkki: kello

Seinäkellon minuuttiviisari on 15 cm pitkä. Kuinka monta senttimetriä sen kärki kulkee 20 minuutissa?

Viisarin kärki liikkuu ympyrän kehää pitkin, ja ympyrän säde on viisarin pituus, joten r = 15 cm. Kärjen kulkema matka on sininen kaari b. Tarvitaan vielä kulma. Tunnissa viisari kiertää koko kierroksen eli 360°. 20 minuutissa se kulkee kolmasosan kierroksesta:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Sijoitetaan kaaren pituuden kaavaan:

$$b=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Murtoluku on yksi kolmasosa ja 2 · 15 = 30:

$$b=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Sijoitetaan piin likiarvo:

$$b\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Minuuttiviisarin kärki kulkee 20 minuutissa likimain 31,4 cm.

Kun kaari tunnetaan ja kulmaa etsitään

Joskus tilanne on päinvastainen: tunnetaan säde ja kaaren pituus ja halutaan selvittää keskuskulma. Lähdetään kaaren pituuden kaavasta ja ratkaistaan siitä kulma α:

$$\begin{array}{rcl}b& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot b& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot b}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Esimerkki: Auto ajaa liikenneympyrään ja kulkee kehää, jonka säde on 10 metriä. Ennen kuin se ajaa pois ympyrästä, se kulkee kehää pitkin 15,7 metriä. Minkä kulman verran auto kääntyi liikenneympyrän keskipisteen ympäri?

Sijoitetaan b = 15,7, r = 10 ja piin paikalle 3,14, koska kaaren pituus on annettu likimääräisenä:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Kerrotaan nimittäjä:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Luku 15,7 on tasan neljäsosa luvusta 62,8, joten murtoluku supistuu:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Auto kääntyi 90°, eli ajoi neljäsosan liikenneympyrästä. Voidaan tarkistaa, laskettiinko oikein: neljäsosa kehästä on $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ metriä. Täsmää.

Kulma radiaaneina

Jos kulma on annettu radiaaneina, kaavat yksinkertaistuvat. Koko ympyrän kulma on nimittäin 360° = 2π radiaania, joten murtoluku, joka kertoo sektorin osuuden ympyrästä, on $\frac{\alpha }{2\pi }$. Sijoituksen jälkeen pii supistuu pois:

$$b=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$A=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Huomaa, että näihin supistettuihin kaavoihin kuuluu kulma radiaaneina, ei asteina. Jos niihin sijoittaisi vaikkapa luvun 45, tulos olisi järjetön.

Esimerkiksi edellisen esimerkin pizzapalan kulma on 45°, mikä on $\frac{\pi }{4}$ radiaania. Palan pinta-ala on silloin $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, aivan kuten aiemmin.

Laskin

Sektorin pinta-alan ja kaaren pituuden voi laskea myös tässä. Kulman voi antaa asteina tai radiaaneina, ja yksikön voi vaihtaa kunkin kentän kohdalla.

Katso myös

• Ympyrän pinta-ala
• Ympyrän kehän pituus
• Ympyrä
• Kulman kaarimitta