Setor circular

Setor circular é um pedaço de círculo que parece uma fatia de pizza ou de bolo. Você o obtém com dois cortes que vão do centro até a borda. O setor é, assim, limitado por dois raios e por um pedaço de circunferência entre eles.

Em vermelho está pintado o próprio setor, cuja área vamos calcular. Os segmentos pretos são dois raios r, ou seja, dois cortes de faca. Em laranja está marcado o ângulo α formado pelos raios. Ele se chama ângulo central, porque tem o vértice no centro do círculo. Em azul está o arco l, o pedaço de circunferência que limita o setor por fora — na pizza, é a borda.

Fórmulas do setor

Se você quer só a fórmula, a área A de um setor circular de raio r e ângulo central α em graus é

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

O comprimento do arco l do mesmo setor é

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Por exemplo, um setor de raio r = 6 e ângulo central α = 60° tem área

$$A=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

e o seu arco mede

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Se você não gosta de um resultado com a constante pi, pode substituí-la pelo valor aproximado 3,14:

$$A\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Como chegamos a isso?

O círculo inteiro tem, em torno do centro, um ângulo de 360°. O setor é a parte do círculo que corresponde à fração de 360° ocupada pelo seu ângulo central. Um setor com ângulo de 90° é um quarto do círculo, porque 90° é um quarto de 360°. Um setor com ângulo de 180° é metade do círculo, com ângulo de 270° são três quartos e com ângulo de 360° é o círculo inteiro:

A fração do círculo inteiro ocupada pelo setor é, portanto, dada por

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Para o ângulo de 90° temos $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, para 60° temos $\frac{1}{6}$. A área do setor é, então, essa mesma parte da área do círculo inteiro. A área do círculo é

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

de modo que obtemos a área do setor multiplicando-a por essa fração:

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot A_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Com o arco funciona exatamente do mesmo jeito. Quando o ângulo se abre, o arco azul cresce junto com ele e, com o ângulo de 360°, vira a circunferência inteira. O arco é, por isso, a mesma parte do comprimento da circunferência que o ângulo α é de 360°. O comprimento da circunferência é

$$C=2\cdot \pi \cdot r,$$

e o comprimento do arco é, então,

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot C=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Exemplo: pizza

Uma pizza tem diâmetro de 32 cm e está dividida em 8 fatias iguais. Qual é a área de uma fatia?

Cada fatia é um setor circular. Primeiro precisamos do seu ângulo central. Oito fatias iguais dividem entre si os 360° inteiros, então uma fatia tem ângulo

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Agora, atenção à pegadinha: 32 cm é o diâmetro da pizza, não o raio. Mas na fórmula entra o raio, que é a metade do diâmetro, ou seja, r = 16 cm. Substituímos na fórmula da área do setor:

$$A=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

A fração se simplifica para um oitavo, o que faz sentido, porque a fatia é um oitavo da pizza. Elevamos o dezesseis ao quadrado:

$$A=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Dividimos o 256 por oito:

$$A=32\pi$$

E, por fim, substituímos o valor aproximado de pi:

$$A\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Uma fatia tem aproximadamente 100,48 centímetros quadrados. Se alguém substituísse na fórmula, por engano, o diâmetro inteiro de 32 cm, obteria uma fatia quatro vezes maior, mais de quatrocentos centímetros quadrados. Seria uma pizza para a família inteira se fartar.

Exemplo: relógio

O ponteiro dos minutos de um relógio de parede tem 15 cm de comprimento. Quantos centímetros a ponta dele percorre em 20 minutos?

A ponta do ponteiro se move sobre uma circunferência cujo raio é o comprimento do ponteiro, então r = 15 cm. O caminho que ela percorre é o arco azul l. Ainda precisamos do ângulo. Em 60 minutos o ponteiro dá uma volta completa, ou seja, 360°. Em 20 minutos ele percorre um terço da volta:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Substituímos na fórmula do comprimento do arco:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

A fração é um terço e 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Substituímos o valor aproximado de pi:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

A ponta do ponteiro dos minutos percorre, em 20 minutos, aproximadamente 31,4 cm.

Quando conhecemos o arco e procuramos o ângulo

Às vezes é o contrário: conhecemos o raio e o comprimento do arco e queremos descobrir o ângulo central. Partimos da fórmula do comprimento do arco e isolamos nela o ângulo α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Exemplo: Um carro entra em uma rotatória e anda sobre uma circunferência de raio 10 metros. Antes de sair da rotatória, ele percorre 15,7 metros sobre ela. Qual foi o ângulo que ele descreveu em torno do centro da rotatória?

Substituímos l = 15,7, r = 10 e, no lugar de pi, 3,14, porque o comprimento do arco foi dado de forma aproximada:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Multiplicamos o denominador:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

O número 15,7 é exatamente um quarto de 62,8, então a fração se simplifica:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

O carro girou 90°, ou seja, contornou um quarto da rotatória. Podemos verificar se calculamos certo: um quarto do comprimento da circunferência é $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ metros. Confere.

Ângulo em radianos

Se o ângulo é dado em radianos, as fórmulas ficam mais simples. O círculo inteiro tem 360° = 2π radianos, então a fração que diz que parte do círculo o setor ocupa é $\frac{\alpha }{2\pi }$. Depois da substituição, o pi se cancela:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$A=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Atenção: nessas fórmulas simplificadas entra o ângulo em radianos, não em graus. Se você substituísse nelas, por exemplo, 45, sairia um absurdo.

Por exemplo, a fatia de pizza do exemplo acima tem ângulo de 45°, que é $\frac{\pi }{4}$ radiano. A área da fatia é, então, $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, igual ao resultado anterior.

Calculadora

Você também pode calcular aqui a área do setor e o comprimento do arco. O ângulo pode ser informado em graus ou em radianos; você pode trocar as unidades em cada campo.

Veja também

• Área do círculo
• Comprimento da circunferência
• Circunferência
• Medida de ângulo em radianos