Kreissektor

Ein Kreissektor ist ein Teil eines Kreises, der aussieht wie ein Stück Pizza oder Torte. Du schneidest ihn mit zwei Schnitten aus, die vom Mittelpunkt bis zum Rand verlaufen. Der Sektor wird also von zwei Radien und dem Stück der Kreislinie zwischen ihnen begrenzt.

Rot eingefärbt ist der Sektor selbst, seinen Flächeninhalt wollen wir berechnen. Die schwarzen Strecken sind die beiden Radien r, also die beiden Messerschnitte. Orange ist der Winkel α markiert, den die Radien einschließen. Er heißt Mittelpunktswinkel, weil sein Scheitel im Mittelpunkt des Kreises liegt. Blau ist der Bogen b, das Stück der Kreislinie, das den Sektor außen begrenzt – bei der Pizza ist das der Rand.

Formeln für den Sektor

Wenn du nur die Formel suchst: Den Flächeninhalt A eines Kreissektors mit dem Radius r und dem Mittelpunktswinkel α in Grad berechnest du als

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Die Länge b des Bogens desselben Sektors berechnest du als

$$b=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Ein Sektor mit dem Radius r = 6 und dem Mittelpunktswinkel α = 60° hat zum Beispiel den Flächeninhalt

$$A=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

und sein Bogen ist

$$b=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

lang.

Wenn dir ein Ergebnis mit der Kreiszahl Pi nicht gefällt, kannst du dafür den Näherungswert 3,14 einsetzen:

$$A\approx 6\cdot 3,14=18,84,b\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Wie sind wir darauf gekommen?

Der Vollwinkel um den Mittelpunkt beträgt 360°. Ein Sektor macht also denselben Teil des Kreises aus, den sein Mittelpunktswinkel von den 360° ausmacht. Ein Sektor mit dem Winkel 90° ist ein Viertel des Kreises, weil 90° ein Viertel von 360° sind. Ein Sektor mit dem Winkel 180° ist ein halber Kreis, mit dem Winkel 270° drei Viertel und mit dem Winkel 360° der ganze Kreis:

Welchen Teil des ganzen Kreises der Sektor ausmacht, sagt uns also der Bruch

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Für den Winkel 90° ergibt sich $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, für 60° dann $\frac{1}{6}$. Der Flächeninhalt des Sektors ist also derselbe Teil vom Flächeninhalt des ganzen Kreises. Der Flächeninhalt des Kreises ist

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

also erhalten wir den Flächeninhalt des Sektors, indem wir ihn mit diesem Bruch multiplizieren:

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot A_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Genauso funktioniert es mit dem Bogen. Wenn sich der Winkel öffnet, wächst mit ihm auch der blaue Bogen, und beim Winkel 360° wird daraus die ganze Kreislinie. Der Bogen ist deshalb derselbe Teil des Kreisumfangs wie der Winkel α von 360°. Der Umfang des Kreises ist

$$U=2\cdot \pi \cdot r,$$

und die Länge des Bogens ist daher

$$b=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot U=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Beispiel: Pizza

Eine Pizza hat einen Durchmesser von 32 cm und ist in 8 gleich große Stücke geschnitten. Welchen Flächeninhalt hat ein Stück?

Jedes Stück ist ein Kreissektor. Zuerst brauchen wir seinen Mittelpunktswinkel. Acht gleich große Stücke teilen sich die vollen 360°, also hat ein Stück den Winkel

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Jetzt Achtung, Falle: 32 cm ist der Durchmesser der Pizza, nicht der Radius. In die Formel gehört aber der Radius, und der ist die Hälfte des Durchmessers, also r = 16 cm. Wir setzen in die Formel für den Flächeninhalt des Sektors ein:

$$A=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Der Bruch lässt sich zu einem Achtel kürzen, was Sinn ergibt, denn ein Stück ist ein Achtel der Pizza. Wir quadrieren die Sechzehn:

$$A=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Die Zahl 256 teilen wir durch acht:

$$A=32\pi$$

Und zum Schluss setzen wir den Näherungswert von Pi ein:

$$A\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Ein Stück hat ungefähr 100,48 Quadratzentimeter. Hätte jemand versehentlich den ganzen Durchmesser 32 cm in die Formel eingesetzt, käme ein viermal so großes Stück heraus, nämlich über vierhundert Quadratzentimeter. Das wäre eine Pizza, von der eine ganze Familie satt würde.

Beispiel: Uhr

Der Minutenzeiger einer Wanduhr ist 15 cm lang. Wie viele Zentimeter legt seine Spitze in 20 Minuten zurück?

Die Spitze des Zeigers bewegt sich auf einer Kreislinie, deren Radius die Länge des Zeigers ist, also r = 15 cm. Der Weg, den sie zurücklegt, ist der blaue Bogen b. Wir brauchen noch den Winkel. In 60 Minuten macht der Zeiger eine ganze Runde, also 360°. In 20 Minuten schafft er ein Drittel der Runde:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Wir setzen in die Formel für die Bogenlänge ein:

$$b=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Der Bruch ist ein Drittel, und 2 · 15 = 30:

$$b=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Wir setzen den Näherungswert von Pi ein:

$$b\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Die Spitze des Minutenzeigers legt in 20 Minuten ungefähr 31,4 cm zurück.

Der Bogen ist bekannt, der Winkel gesucht

Manchmal ist es umgekehrt: Wir kennen den Radius und die Länge des Bogens und wollen den Mittelpunktswinkel bestimmen. Wir gehen von der Formel für die Bogenlänge aus und lösen sie nach dem Winkel α auf:

$$\begin{array}{rcl}b& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot b& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot b}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Beispiel: Ein Auto fährt in einen Kreisverkehr ein und bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius 10 Meter. Bevor es den Kreisverkehr wieder verlässt, legt es auf ihr 15,7 Meter zurück. Um welchen Winkel hat es sich um den Mittelpunkt des Kreisverkehrs gedreht?

Wir setzen b = 15,7, r = 10 und für Pi 3,14 ein, weil die Bogenlänge nur näherungsweise gegeben ist:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Wir multiplizieren den Nenner aus:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Die Zahl 15,7 ist genau ein Viertel von 62,8, der Bruch lässt sich also kürzen:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Das Auto hat sich um 90° gedreht, hat also ein Viertel des Kreisverkehrs zurückgelegt. Wir können überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben: Ein Viertel des Umfangs ist $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ Meter. Das stimmt.

Winkel im Bogenmaß

Ist der Winkel im Bogenmaß gegeben, vereinfachen sich die Formeln. Der ganze Kreis hat nämlich 360° = 2π Radiant, also ist der Bruch, der angibt, welchen Teil des Kreises der Sektor ausmacht, $\frac{\alpha }{2\pi }$. Nach dem Einsetzen kürzt sich Pi weg:

$$b=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$A=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Achtung, in diese vereinfachten Formeln gehört der Winkel im Bogenmaß, nicht in Grad. Würdest du zum Beispiel 45 einsetzen, käme Unsinn heraus.

Das Pizzastück aus dem Beispiel oben hat den Winkel 45°, das sind $\frac{\pi }{4}$ Radiant. Der Flächeninhalt des Stücks ist dann $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, genau wie vorhin.

Rechner

Den Flächeninhalt und die Bogenlänge des Sektors kannst du auch hier berechnen. Den Winkel kannst du in Grad oder im Bogenmaß eingeben; die Einheit stellst du bei jedem Feld einzeln um.

Siehe auch

• Flächeninhalt eines Kreises
• Umfang des Kreises
• Kreis
• Bogenmaß eines Winkels