Secteur circulaire

Un secteur circulaire est un morceau de disque qui ressemble à une part de pizza ou de gâteau. On le découpe avec deux coupes qui vont du centre jusqu’au bord. Le secteur est ainsi délimité par deux rayons et par un morceau de cercle entre eux.

Le secteur lui-même est colorié en rouge, c’est son aire que nous allons calculer. Les segments noirs sont deux rayons r, c’est-à-dire deux coups de couteau. L’angle α formé par les rayons est marqué en orange. On l’appelle angle au centre, car son sommet est le centre du disque. En bleu, c’est l’arc l, le morceau de cercle qui délimite le secteur à l’extérieur : pour une pizza, c’est la croûte.

Formules pour le secteur

Si tu cherches seulement la formule, l’aire $\mathcal{A}$ d’un secteur circulaire de rayon r et d’angle au centre α en degrés se calcule ainsi :

$$\mathcal{A}=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

La longueur l de l’arc de ce même secteur se calcule ainsi :

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Par exemple, un secteur de rayon r = 6 et d’angle au centre α = 60° a pour aire

$$\mathcal{A}=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

et son arc mesure

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Si tu n’aimes pas un résultat qui contient la constante pi, tu peux la remplacer par la valeur approchée 3,14 :

$$\mathcal{A}\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Comment y sommes-nous arrivés ?

Un disque entier occupe autour de son centre un angle de 360°. Un secteur est donc la fraction du disque que son angle au centre représente sur les 360°. Un secteur d’angle 90° est un quart de disque, car 90° est le quart de 360°. Un secteur d’angle 180° est un demi-disque, avec un angle de 270° c’est trois quarts de disque, et avec un angle de 360° c’est le disque entier :

La fraction du disque entier que le secteur occupe est donc

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Pour un angle de 90°, on obtient $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, et pour 60° on obtient $\frac{1}{6}$. L’aire du secteur est donc la même fraction de l’aire du disque entier. L’aire du disque est

$${\mathcal{A}}_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

donc nous obtenons l’aire du secteur en la multipliant par cette fraction :

$$\mathcal{A}=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot {\mathcal{A}}_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

C’est exactement pareil pour l’arc. Quand l’angle s’ouvre, l’arc bleu grandit avec lui, et pour un angle de 360° il devient le cercle entier. L’arc est donc la même fraction du périmètre du cercle que l’angle α l’est de 360°. Le périmètre du cercle est

$$\mathcal{P}=2\cdot \pi \cdot r,$$

et la longueur de l’arc est donc

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \mathcal{P}=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Exemple : la pizza

Une pizza a un diamètre de 32 cm et elle est coupée en 8 parts égales. Quelle est l’aire d’une part ?

Chaque part est un secteur circulaire. Il nous faut d’abord son angle au centre. Huit parts égales se partagent les 360° du tour complet, donc une part a pour angle

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Attention au piège : 32 cm est le diamètre de la pizza, pas son rayon. Or c’est le rayon qui doit figurer dans la formule, et il vaut la moitié du diamètre, donc r = 16 cm. Nous remplaçons dans la formule de l’aire du secteur :

$$\mathcal{A}=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

La fraction se simplifie en un huitième, ce qui est logique, puisqu’une part est un huitième de la pizza. Calculons le carré de seize :

$$\mathcal{A}=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Divisons 256 par huit :

$$\mathcal{A}=32\pi$$

Et enfin, remplaçons pi par sa valeur approchée :

$$\mathcal{A}\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Une part a une aire d’environ 100,48 centimètres carrés. Si on avait remplacé par erreur le rayon par le diamètre entier de 32 cm, on aurait obtenu une part quatre fois plus grande, soit plus de quatre cents centimètres carrés. Une telle pizza suffirait à rassasier toute une famille.

Exemple : l’horloge

L’aiguille des minutes d’une horloge murale mesure 15 cm. Quelle distance parcourt sa pointe en 20 minutes ?

La pointe de l’aiguille se déplace sur un cercle dont le rayon est la longueur de l’aiguille, donc r = 15 cm. La distance qu’elle parcourt est l’arc bleu l. Il nous faut encore l’angle. En 60 minutes, l’aiguille fait un tour complet, c’est-à-dire 360°. En 20 minutes, elle fait un tiers de tour :

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Nous remplaçons dans la formule de la longueur de l’arc :

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

La fraction vaut un tiers et 2 · 15 = 30 :

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Remplaçons pi par sa valeur approchée :

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

En 20 minutes, la pointe de l’aiguille des minutes parcourt environ 31,4 cm.

Quand on connaît l’arc et qu’on cherche l’angle

Parfois, c’est l’inverse : on connaît le rayon et la longueur de l’arc, et on veut trouver l’angle au centre. Nous partons de la formule de la longueur de l’arc et nous en tirons l’angle α :

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Exemple : Une voiture arrive sur un rond-point et roule sur un cercle de 10 mètres de rayon. Avant d’en sortir, elle parcourt 15,7 mètres. De quel angle a-t-elle tourné autour du centre du rond-point ?

Nous remplaçons l = 15,7, r = 10 et, pour pi, 3,14, car la longueur de l’arc est donnée de façon approchée :

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Calculons le dénominateur :

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Le nombre 15,7 est exactement le quart de 62,8, donc la fraction se simplifie :

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

La voiture a tourné de 90°, elle a donc fait le quart du rond-point. Nous pouvons vérifier que nos calculs sont justes : le quart du périmètre vaut $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ mètres. Ça colle.

Angle en radians

Si l’angle est donné en radians, les formules se simplifient. En effet, un disque entier correspond à 360° = 2π radians, donc la fraction qui indique quelle part du disque le secteur occupe est $\frac{\alpha }{2\pi }$. Après remplacement, pi se simplifie :

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$\mathcal{A}=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Attention, ces formules simplifiées demandent un angle en radians, pas en degrés. Si tu remplaçais par exemple 45, tu obtiendrais n’importe quoi.

Ainsi, la part de pizza de l’exemple ci-dessus a un angle de 45°, soit $\frac{\pi }{4}$ radian. L’aire de la part est alors $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, comme précédemment.

Calculatrice

Tu peux aussi calculer ici l’aire du secteur et la longueur de l’arc. L’angle peut être saisi en degrés ou en radians ; tu changes l’unité de chaque champ.

Voir aussi

• Aire du disque
• Périmètre du cercle
• Cercle
• Mesure d’un angle en radians