Круговий сектор

Круговий сектор — це шматок круга, схожий на скибку піци або торта. Його вирізають двома розрізами, що йдуть від центра до краю. Отже, сектор обмежують два радіуси і шматок кола між ними.

Червоним зафарбовано сам сектор, його площу ми й будемо обчислювати. Чорні відрізки — це два радіуси r, тобто два розрізи ножем. Помаранчевим позначено кут α, який утворюють радіуси. Його називають центральним кутом, бо його вершина лежить у центрі круга. Синім показано дугу l — шматок кола, що обмежує сектор зовні; у піци це скоринка.

Формули для сектора

Якщо тобі потрібна лише формула, то площу S кругового сектора з радіусом r і центральним кутом α в градусах обчислиш так:

$$S=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Довжину дуги l того самого сектора обчислиш так:

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Наприклад, сектор із радіусом r = 6 і центральним кутом α = 60° має площу

$$S=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

а його дуга має довжину

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Якщо тобі не подобається результат із константою пі, можеш підставити замість неї наближене значення 3,14:

$$S\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Як ми до цього дійшли?

Повний круг має навколо центра кут 360°. Сектор — це така частина круга, яку частину від 360° становить його центральний кут. Сектор із кутом 90° — це чверть круга, бо 90° — чверть від 360°. Сектор із кутом 180° — це половина круга, з кутом 270° — три чверті, а з кутом 360° — увесь круг:

Яку частину всього круга займає сектор, нам, отже, підкаже дріб

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Для кута 90° маємо $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, для 60° — $\frac{1}{6}$. Площа сектора становить таку саму частину від площі всього круга. Площа круга дорівнює

$$S_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

тож площу сектора отримаємо, якщо помножимо її на цей дріб:

$$S=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot S_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Точнісінько так само це працює і з дугою. Коли кут розкривається, разом із ним росте й синя дуга, а при куті 360° з неї виходить усе коло. Тому дуга становить таку саму частину довжини кола, як кут α від 360°. Довжина кола дорівнює

$$L=2\cdot \pi \cdot r,$$

отже, довжина дуги така:

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot L=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Приклад: піца

Піца має діаметр 32 см і нарізана на 8 однакових шматків. Яка площа одного шматка?

Кожен шматок — це круговий сектор. Спершу нам потрібен його центральний кут. Вісім однакових шматків ділять між собою повні 360°, тож один шматок має кут

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Тепер обережно, тут легко помилитися: 32 см — це діаметр піци, а не радіус. Але у формулу треба підставити радіус, а він дорівнює половині діаметра, тобто r = 16 см. Підставимо у формулу площі сектора:

$$S=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Дріб скорочується до однієї восьмої, що логічно, бо шматок — це восьма частина піци. Піднесемо шістнадцять до квадрата:

$$S=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Число 256 поділимо на вісім:

$$S=32\pi$$

І наприкінці підставимо наближене значення пі:

$$S\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Один шматок має площу приблизно 100,48 квадратного сантиметра. Якби хтось помилково підставив у формулу весь діаметр 32 см, шматок вийшов би вчетверо більшим, а саме понад чотириста квадратних сантиметрів. Це була б піца, якою наїлася б уся родина.

Приклад: годинник

Хвилинна стрілка настінного годинника має довжину 15 см. Скільки сантиметрів пройде її кінчик за 20 хвилин?

Кінчик стрілки рухається по колу, радіус якого дорівнює довжині стрілки, тож r = 15 см. Шлях, який він пройде, — це синя дуга l. Нам ще потрібен кут. За 60 хвилин стрілка робить повне коло, тобто 360°. За 20 хвилин вона проходить третину кола:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Підставимо у формулу довжини дуги:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Дріб дорівнює одній третині, а 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Підставимо наближене значення пі:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Кінчик хвилинної стрілки пройде за 20 хвилин приблизно 31,4 см.

Коли знаємо дугу і шукаємо кут

Іноді буває навпаки: відомі радіус і довжина дуги, а треба знайти центральний кут. Скористаємося формулою довжини дуги й виразимо з неї кут α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Приклад: Автомобіль заїжджає на кругову розв'язку й рухається по колу радіусом 10 метрів. Перш ніж виїхати з розв'язки, він проїжджає по колу 15,7 метра. На який кут він повернувся навколо центра розв'язки?

Підставимо l = 15,7, r = 10 і за пі візьмемо 3,14, бо довжину дуги задано наближено:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Обчислимо знаменник:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Число 15,7 — це рівно чверть від 62,8, тож дріб скорочується:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Автомобіль повернувся на 90°, тобто об'їхав чверть розв'язки. Можна перевірити, чи ми порахували правильно: чверть довжини кола дорівнює $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ метра. Усе сходиться.

Кут у радіанах

Якщо кут заданий у радіанах, формули спрощуються. Повний круг має 360° = 2π радіанів, тож дріб, який показує, яку частину круга займає сектор, дорівнює $\frac{\alpha }{2\pi }$. Після підстановки пі скорочується:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$S=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Зверни увагу: у ці скорочені формули слід підставляти кут у радіанах, а не в градусах. Якби підставити, скажімо, 45, вийшла б нісенітниця.

Наприклад, шматок піци з прикладу вище має кут 45°, а це $\frac{\pi }{4}$ радіана. Площа шматка тоді дорівнює $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, так само як і раніше.

Калькулятор

Площу сектора і довжину дуги можна обчислити й тут. Кут можна ввести в градусах або в радіанах, одиниці перемикаєш біля кожного поля.

Дивись також

• Площа круга
• Довжина кола
• Коло
• Радіанна міра кута